Para o cálculo de uma integral tripla precisamos estabelecer os limites de integração a partir de uma região tridimensional, que pode ser representada a partir do espaço cartesiano. Nesse contexto, considere o paralelepípedo S no espaço contendo os pontos (x,y,z) tais que -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 e 2 ≤ z ≤ 4. Qual é o resultado obtido ao calcular a integral tripla da função f(x,y,z) = 3x²y sobre a região S? Selecione uma alternativa: a) 6. B) 8. C) 12. D) 18. E) 27
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla da função $ f(x, y, z) = 3x^2y $ sobre um paralelepípedo $ S $ no espaço definido por $ -1 \leq x \leq 1 $, $ 0 \leq y \leq 3 $ e $ 2 \leq z \leq 4 $. Isso significa que vamos integrar a função em todas as três dimensões dentro desses limites. Para isso, precisamos saber como configurar os limites de integração e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral tripla com os limites dados. Geralmente, a gente integra primeiro em relação a uma variável, depois a outra e por último a terceira. Aqui, vamos seguir a ordem $ dx $, $ dy $ e $ dz $:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ x $. A função $ 3x^2y $ pode ser vista como $ 3y \cdot x^2 $, onde $ y $ é uma constante durante a integração em $ x $:
Sabemos que
. Avaliando de -1 a 1:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $:
Passo 5
Por último, integramos em relação a $ z $:
Resposta
A resposta correta é a opção D) 18.