De acordo com o modelo de Bohr, um elétron, em uma n-ésima orbita estacionária, não emite e nem absorve energia, tal que
, onde
é o estado energético correspondente à uma órbita de nível
é a constante de Planck,
a massa do elétron, e e a carga do elétron, Z o número atômico do átomo no qual o elétron se encontra e
a constante de permissividade no vácuo. Dessa forma, mostre que a energia de ionização para o átomo de hidrogênio é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo de Bohr para átomos, especificamente sobre a energia de um elétron em uma órbita estacionária. A matéria que estamos trabalhando aqui envolve física atômica, energia dos elétrons e o modelo de Bohr. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da energia do elétron no modelo de Bohr e como calcular a energia de ionização do átomo de hidrogênio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da energia de um elétron em uma órbita de nível $ n $ segundo o modelo de Bohr:
Aqui:
- $ E_{n} $ é a energia do elétron no nível $ n $.
- $ m_{e} $ é a massa do elétron.
- $ e $ é a carga do elétron.
- $ \epsilon $ é a constante de permissividade no vácuo.
- $ h $ é a constante de Planck.
- $ Z $ é o número atômico do átomo.
- $ n $ é o número quântico principal (nível da órbita).
Passo 3
No caso do átomo de hidrogênio, o número atômico $ Z $ é igual a 1, ou seja, $ Z = 1 $. Vamos substituir isso na fórmula:
Passo 4
A energia de ionização é a energia necessária para remover o elétron do átomo, ou seja, para levar o elétron do nível $ n = 1 $ (estado fundamental) para $ n \to \infty $ (estado livre). Matemáticamente, isso significa calcular a diferença de energia entre $ E_{\infty} $ e $ E_{1} $.
Sabemos que quando $ n \to \infty $, a energia $ E_{\infty} $ tende a zero:
Então, a energia de ionização $ E $ é:
Resposta
A energia de ionização para o átomo de hidrogênio é dada por