De acordo com a Opinion Research Corporation, os homens gastam em média 11,4 min no chuveiro. Suponha que esses tempos tenham distribuição normal com desvio-padrão de 1,8 min. Escolhido um homem aleatoriamente, determine a probabilidade de ele gastar ao menos 10,0 min no chuveiro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que, em média, os homens passam 11,4 minutos no chuveiro e que esse tempo varia normalmente com um desvio-padrão de 1,8 minutos. A matéria aqui é Distribuição Normal, e pra resolver a probabilidade de um homem escolhido aleatoriamente gastar pelo menos 10 minutos no chuveiro, a gente vai precisar usar a padronização (ou seja, transformar nosso valor em um valor Z).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que numa distribuição normal, a maioria dos valores se concentra perto da média, e a dispersão dos dados é medida pelo desvio-padrão. A fórmula pra converter um valor X em um valor Z (padronização) é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos analisar (neste caso, 10 minutos).
- $ \mu $ é a média (11,4 minutos).
- $ \sigma $ é o desvio-padrão (1,8 minutos).
Passo 3
Vamos calcular o valor de Z para X = 10 minutos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de um homem gastar pelo menos 10 minutos no chuveiro, ou seja, $ P(X \geq 10) $. Isso é equivalente a $ P(Z \geq -0,78) $.
Passo 5
Consultando a tabela da distribuição normal padrão (tabela Z), encontramos a probabilidade acumulada até Z = -0,78. A tabela geralmente nos dá $ P(Z \leq z) $. Supondo que $ P(Z \leq -0,78) \approx 0,2177 $.
Passo 6
Como queremos $ P(Z \geq -0,78) $, usamos a propriedade que a soma das probabilidades à esquerda e à direita de um ponto Z é igual a 1:
Resposta
A probabilidade de um homem gastar ao menos 10,0 minutos no chuveiro é aproximadamente 78,23%.