Os níveis de colesterol sérico em homens entre 18 e 24 anos de idade têm distribuição normal com média de 178,1 e desvio-padrão de 40,7. Todas as unidades são em mg/100 mL, e os dados se baseiam no National Health Survey. Escolhido aleatoriamente um homem entre 18 e 24 anos de idade, determine a probabilidade de seu nível de colesterol sérico estar entre 200 e 250.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os níveis de colesterol em homens jovens, que seguem uma distribuição normal. A média é 178,1 mg/100 mL e o desvio-padrão é 40,7 mg/100 mL. A gente precisa descobrir a probabilidade de um homem escolhido aleatoriamente nessa faixa etária ter um colesterol entre 200 e 250 mg/100 mL. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuição normal e transformar esses valores em escores z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição normal. É aquela famosa curva em forma de sino, onde a maioria dos valores se concentra perto da média, e conforme nos afastamos, os valores ficam menos frequentes. A média aqui é 178,1 e o desvio-padrão é 40,7.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade entre 200 e 250, vamos converter esses valores para escores z. O escore z nos diz quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula para isso é:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos converter,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ \sigma $ é o desvio-padrão.

Passo 4

Vamos calcular o z para 200 mg/100 mL:
z1 = 200 - 178,140,7 approx 21,940,7 approx 0,538
E agora para 250 mg/100 mL:
z2 = 250 - 178,140,7 approx 71,940,7 approx 1,767

Passo 5

Agora que temos os escores z, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a cada um deles usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora. A tabela nos dá a probabilidade acumulada até aquele z.
Vamos supor que:
  • $ P(z_1) $ é a probabilidade até z = 0,538.
  • $ P(z_2) $ é a probabilidade até z = 1,767.
Usando uma tabela ou calculadora, encontramos:
  • $ P(z_1) \approx 0,7054 $ (70,54%)
  • $ P(z_2) \approx 0,9616 $ (96,16%)

Passo 6

Para achar a probabilidade entre 200 e 250, subtraímos a probabilidade menor da maior:
P(200 <= X <= 250) = P(z2) - P(z1) = 0,9616 - 0,7054 = 0,2562

Resposta

A probabilidade de um homem entre 18 e 24 anos ter o nível de colesterol sérico entre 200 e 250 mg/100 mL é de aproximadamente 25,62%.

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