Os níveis de colesterol sérico em homens entre 18 e 24 anos de idade têm distribuição normal com média de 178,1 e desvio-padrão de 40,7. Todas as unidades são em mg/100 mL, e os dados se baseiam no National Health Survey. Escolhido aleatoriamente um homem entre 18 e 24 anos de idade, determine a probabilidade de seu nível de colesterol sérico estar entre 200 e 250.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os níveis de colesterol em homens jovens, que seguem uma distribuição normal. A média é 178,1 mg/100 mL e o desvio-padrão é 40,7 mg/100 mL. A gente precisa descobrir a probabilidade de um homem escolhido aleatoriamente nessa faixa etária ter um colesterol entre 200 e 250 mg/100 mL. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuição normal e transformar esses valores em escores z.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição normal. É aquela famosa curva em forma de sino, onde a maioria dos valores se concentra perto da média, e conforme nos afastamos, os valores ficam menos frequentes. A média aqui é 178,1 e o desvio-padrão é 40,7.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade entre 200 e 250, vamos converter esses valores para escores z. O escore z nos diz quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos converter,
- $ \mu $ é a média,
- $ \sigma $ é o desvio-padrão.
Passo 4
Vamos calcular o z para 200 mg/100 mL:
E agora para 250 mg/100 mL:
Passo 5
Agora que temos os escores z, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a cada um deles usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora. A tabela nos dá a probabilidade acumulada até aquele z.
Vamos supor que:
- $ P(z_1) $ é a probabilidade até z = 0,538.
- $ P(z_2) $ é a probabilidade até z = 1,767.
Usando uma tabela ou calculadora, encontramos:
- $ P(z_1) \approx 0,7054 $ (70,54%)
- $ P(z_2) \approx 0,9616 $ (96,16%)
Passo 6
Para achar a probabilidade entre 200 e 250, subtraímos a probabilidade menor da maior:
Resposta
A probabilidade de um homem entre 18 e 24 anos ter o nível de colesterol sérico entre 200 e 250 mg/100 mL é de aproximadamente 25,62%.