A função densidade de probabilidade de peso líquido, em libras, de um pacote de herbicida químico é
, para
libas.
b) Quanto herbicida químico está contido em
de todos os pacotes?
b) Quanto herbicida químico está contido em
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de densidade de probabilidade $ f(x) = 2,0 $ para os pesos entre 49,75 e 50,25 libras de um pacote de herbicida químico. O conteúdo da matéria aqui é Probabilidade e Distribuição Uniforme. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a distribuição uniforme e como encontrar percentis nessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a distribuição. Como $ f(x) = 2,0 $ é constante nesse intervalo, isso significa que a distribuição é uniforme, ou seja, todos os valores dentro do intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer.
Passo 3
A função de densidade de probabilidade para uma distribuição uniforme contínua no intervalo
é dada por:
No nosso caso, $ f(x) = 2,0 $, então podemos identificar $ a = 49,75 $ e $ b = 50,25 $.
Passo 4
Queremos saber quanto herbicida químico está contido em 90% de todos os pacotes. Isso significa que queremos encontrar o valor $ x $ tal que a probabilidade de um pacote ter peso até $ x $ seja 90%.
Passo 5
Para encontrar esse valor, usamos a função de distribuição acumulada (CDA) para distribuições uniformes, que é:
Queremos que $ F(x) = 0,90 $:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para $ x $:
Resposta
90% dos pacotes contêm até 50,20 libras de herbicida químico.