De acordo com uma pesquisa recente com 1200 pessoas, 61 % acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável. Estamos interessados na proporção populacional de pessoas que acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável.
(a) Defina as Variáveis Aleatórias X e P, em palavras.
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de 90 % para a proporção populacional de pessoas que acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma pesquisa com 1200 pessoas, das quais 61% acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável. Queremos descobrir qual é a proporção real na população que pensa assim. Para resolver isso, vamos precisar entender as variáveis aleatórias, a distribuição adequada para o problema e como construir um intervalo de confiança.

Passo 2

a) Definindo as Variáveis Aleatórias X e P
Vamos lá! Primeiro, precisamos definir duas variáveis aleatórias:
  • X: Essa é a variável que representa o número de pessoas, na pesquisa dos 1200 entrevistados, que acreditam que o presidente está fazendo um trabalho aceitável. Então, X pode variar de 0 até 1200.
  • P: Essa variável representa a proporção de toda a população que acha que o presidente está fazendo um trabalho aceitável. Como estamos interessados na opinião geral, P é o que queremos estimar a partir da amostra.

Passo 3

b) Escolhendo a Distribuição Adequada
Agora, precisamos decidir qual distribuição estatística usar para modelar esse problema. Como estamos lidando com proporções e temos uma amostra grande, a distribuição que mais se encaixa aqui é a distribuição normal aproximada para a proporção.
Isso porque, segundo o teorema central do limite, para amostras grandes (geralmente n > 30), a distribuição da proporção amostral P se aproxima de uma distribuição normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. No nosso caso, temos 1200 pessoas, o que é uma amostra grande, então podemos usar a distribuição normal para construir o intervalo de confiança.

Passo 4

c) Construindo um Intervalo de Confiança de 90% para a Proporção Populacional
Vamos construir um intervalo de confiança de 90% para a proporção P. O intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores dentro da qual esperamos que a verdadeira proporção da população esteja com um certo nível de confiança.
Primeiro, precisamos calcular a proporção amostral P:
P = Xn = 0,61 times 12001200 = 0,61
O próximo passo é encontrar o erro padrão ( E) da proporção:
E = raizP(1 - P)n = raiz0,61 times 0,391200 approx 0,0143
Agora, precisamos do valor crítico z para um nível de confiança de 90%. Para 90%, o valor z é aproximadamente 1,645.
Finalmente, o intervalo de confiança é dado por:
P pm z times E = 0,61 pm 1,645 times 0,0143
Calculando os limites:
0,61 - (1,645 times 0,0143) approx 0,61 - 0,0235 = 0,5865
0,61 + (1,645 times 0,0143) approx 0,61 + 0,0235 = 0,6335

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 90% para a proporção populacional de pessoas que acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável é aproximadamente de 58,65% a 63,35%.

Exercícios relacionados