De acordo com uma pesquisa recente com 1200 pessoas,
acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável. Estamos interessados na proporção populacional de pessoas que acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável.
(a) Defina as Variáveis Aleatórias
e
, em palavras.
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de
para a proporção populacional de pessoas que acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável.
(a) Defina as Variáveis Aleatórias
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma pesquisa com 1200 pessoas, das quais 61% acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável. Queremos descobrir qual é a proporção real na população que pensa assim. Para resolver isso, vamos precisar entender as variáveis aleatórias, a distribuição adequada para o problema e como construir um intervalo de confiança.
Passo 2
a) Definindo as Variáveis Aleatórias
e
Vamos lá! Primeiro, precisamos definir duas variáveis aleatórias:
-
: Essa é a variável que representa o número de pessoas, na pesquisa dos 1200 entrevistados, que acreditam que o presidente está fazendo um trabalho aceitável. Então, pode variar de 0 até 1200. -
: Essa variável representa a proporção de toda a população que acha que o presidente está fazendo um trabalho aceitável. Como estamos interessados na opinião geral, é o que queremos estimar a partir da amostra.
Passo 3
b) Escolhendo a Distribuição Adequada
Agora, precisamos decidir qual distribuição estatística usar para modelar esse problema. Como estamos lidando com proporções e temos uma amostra grande, a distribuição que mais se encaixa aqui é a distribuição normal aproximada para a proporção.
Isso porque, segundo o teorema central do limite, para amostras grandes (geralmente n > 30), a distribuição da proporção amostral
se aproxima de uma distribuição normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. No nosso caso, temos 1200 pessoas, o que é uma amostra grande, então podemos usar a distribuição normal para construir o intervalo de confiança.
Passo 4
c) Construindo um Intervalo de Confiança de 90% para a Proporção Populacional
Vamos construir um intervalo de confiança de 90% para a proporção
. O intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores dentro da qual esperamos que a verdadeira proporção da população esteja com um certo nível de confiança.
Primeiro, precisamos calcular a proporção amostral
:
O próximo passo é encontrar o erro padrão (
) da proporção:
Agora, precisamos do valor crítico
para um nível de confiança de 90%. Para 90%, o valor
é aproximadamente 1,645.
Finalmente, o intervalo de confiança é dado por:
Calculando os limites:
Resposta
Portanto, o intervalo de confiança de 90% para a proporção populacional de pessoas que acham que o presidente está fazendo um trabalho aceitável é aproximadamente de 58,65% a 63,35%.