Foi selecionada uma amostra de 16 saquinhos pequenos da mesma marca de doces. Suponha que a distribuição populacional dos pesos dos saquinhos seja normal. O peso de cada saquinho foi então registrado. O peso médio foi de 2 onças com um desvio padrão de 0,12 onças. O desvio padrão populacional é conhecido como 0,1 onça.
(a) Defina a Variável Aleatória X, em palavras.
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de 90 % para o peso médio populacional dos doces.
(d) Construa um intervalo de confiança de 98 % para o peso médio populacional dos doces.
(e) Em frases completas, explique por que o intervalo de confiança em (d) é maior que o intervalo de confiança em ©
(f) Em frases completas, dê uma interpretação do que o intervalo em (d) significa.

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício sobre estatística que envolve amostras e intervalos de confiança. Vamos precisar entender conceitos como distribuição normal, média, desvio padrão e como construir intervalos de confiança usando a distribuição z.

Passo 2

(a) Defina a Variável Aleatória X, em palavras.
A variável aleatória representa o peso de um saquinho de doces selecionado aleatoriamente da população.

Passo 3

(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
Como sabemos que a distribuição dos pesos dos saquinhos é normal e estamos trabalhando com a média de uma amostra, a distribuição que devemos usar é a distribuição normal. Além disso, como o desvio padrão populacional é conhecido, utilizamos a distribuição z para construir os intervalos de confiança.

Passo 4

© Construa um intervalo de confiança de 90% para o peso médio populacional dos doces.
Primeiro, vamos identificar os dados:
  • Média da amostra ( barx pm z times ( sigmaraizn ) ) = 2 onças
  • Desvio padrão populacional ( sigmaraizn = 0,1raiz16 = 0,14 = 0,025 ) = 0,1 onça
  • Tamanho da amostra ( 2 pm 1,645 times 0,025 = 2 pm 0,041125 ) = 16
Para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Para um intervalo de 90%, o valor de correspondente é aproximadamente 1,645.
Calculando o erro padrão:
Então, o intervalo é:
Portanto, o intervalo de confiança de 90% é de aproximadamente 1,9589 a 2,0411 onças.

Passo 5

(d) Construa um intervalo de confiança de 98% para o peso médio populacional dos doces.
Usando os mesmos dados de antes, mas agora para um intervalo de 98%, o valor de 2 pm 2,326 times 0,025 = 2 pm 0,05815 é aproximadamente 2,326.
Calculando o intervalo:
Então, o intervalo de confiança de 98% é de aproximadamente 1,94185 a 2,05815 onças.

Passo 6

(e) Em frases completas, explique por que o intervalo de confiança em (d) é maior que o intervalo de confiança em ©.
O intervalo de confiança de 98% é maior que o de 90% porque, para termos mais certeza de que o intervalo contém a média populacional, precisamos abranger uma faixa mais ampla. Basicamente, quanto maior o nível de confiança, mais amplo o intervalo para garantir que a média real esteja incluída.
(f) Em frases completas, dê uma interpretação do que o intervalo em (d) significa.
O intervalo de confiança de 98% indica que estamos 98% confiantes de que a verdadeira média do peso dos saquinhos de doces na população está entre aproximadamente 1,94185 e 2,05815 onças. Isso significa que, se fizéssemos muitas amostras e construíssemos intervalos dessa forma, cerca de 98% desses intervalos conteriam a média real.

Resposta

Concluímos que:
  • O intervalo de confiança de 90% para o peso médio é de aproximadamente 1,9589 a 2,0411 onças.
  • O intervalo de confiança de 98% para o peso médio é de aproximadamente 1,94185 a 2,05815 onças.
  • O intervalo de 98% é maior para garantir maior certeza na inclusão da média populacional.
  • Estamos 98% confiantes de que a verdadeira média do peso dos saquinhos está entre 1,94185 e 2,05815 onças.

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