Suponha que 14 crianças foram pesquisadas para determinar por quanto tempo elas tiveram que usar rodinhas de treinamento. Foi revelado que elas as usaram em média por 6 meses com um desvio padrão amostral de 3 meses. Suponha que a distribuição populacional subjacente seja normal.
(a) Defina a Variável Aleatória X, em palavras.
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de 99 % para o tempo médio da população usando rodinhas de treinamento.
(d) Por que o limite de erro mudaria se o nível de confiança fosse reduzido para 90 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística. A gente pesquisou 14 crianças para descobrir por quanto tempo elas usaram rodinhas de treinamento. A média foi de 6 meses e o desvio padrão amostral foi de 3 meses. A distribuição da população é normal. Vamos resolver as partes (a) até (d) usando conceitos de estatística como variáveis aleatórias, distribuições e intervalos de confiança.

Passo 2

(a) Defina a Variável Aleatória , em palavras.
Vamos definir a variável aleatória . Básicamente, uma variável aleatória é algo que pode assumir diferentes valores dependendo do resultado de um experimento ou situação.

Passo 3

Então, para este caso, representa o tempo que uma criança usa rodinhas de treinamento. Em palavras:
é o tempo (em meses) que uma criança utiliza rodinhas de treinamento.

Passo 4

(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
Como a população subjacente segue uma distribuição normal e estamos lidando com a média de uma amostra pequena (n=14), devemos usar a distribuição t-Student. Isso porque, com amostras menores e desconhecendo o desvio padrão da população, a distribuição t é mais apropriada para estimar a média populacional.

Passo 5

© Construa um intervalo de confiança de IC = barx pm talpha/2 ( sraizn ) para o tempo médio da população usando rodinhas de treinamento.
Vamos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
Onde:
  • meses (média amostral)
  • meses (desvio padrão amostral)
  • (tamanho da amostra)
  • é o valor crítico da distribuição t para de confiança e graus de liberdade.

Passo 6

Primeiro, vamos achar o valor de . Procurando uma tabela t ou usando uma calculadora, para de confiança e 13 graus de liberdade, o valor é aproximadamente .

Passo 7

Agora, calculamos o erro padrão:
Erro Padrão = sraizn = 3raiz14 approx 33.7417 approx 0.802 ã

Passo 8

Multiplicamos o erro padrão pelo valor t:
3.012 times 0.802 approx 2.414

Passo 9

Construímos o intervalo de confiança:
6 pm 2.414 Rightarrow (3.586, 8.414)

Passo 10

(d) Por que o limite de erro mudaria se o nível de confiança fosse reduzido para ?
O limite de erro depende do valor crítico da distribuição que a gente usa. Se a gente diminui o nível de confiança de para , o valor fica menor porque queremos menos certeza. Como o limite de erro é ã, quando diminui, o limite de erro também diminui. Isso faz com que o intervalo de confiança fique mais estreito.

Resposta

(a) A variável aleatória é o tempo (em meses) que uma criança utiliza rodinhas de treinamento.
(b) Devemos usar a distribuição t-Student porque a população segue uma distribuição normal e o tamanho da amostra é pequeno (n=14).
© O intervalo de confiança de para o tempo médio da população é aproximadamente meses.
(d) O limite de erro diminui quando o nível de confiança é reduzido para porque o valor crítico da distribuição t é menor, resultando em um intervalo mais estreito.

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