Suponha que 14 crianças foram pesquisadas para determinar por quanto tempo elas tiveram que usar rodinhas de treinamento. Foi revelado que elas as usaram em média por 6 meses com um desvio padrão amostral de 3 meses. Suponha que a distribuição populacional subjacente seja normal.
(a) Defina a Variável Aleatória
, em palavras.
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de
para o tempo médio da população usando rodinhas de treinamento.
(d) Por que o limite de erro mudaria se o nível de confiança fosse reduzido para
?
(a) Defina a Variável Aleatória
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de
(d) Por que o limite de erro mudaria se o nível de confiança fosse reduzido para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística. A gente pesquisou 14 crianças para descobrir por quanto tempo elas usaram rodinhas de treinamento. A média foi de 6 meses e o desvio padrão amostral foi de 3 meses. A distribuição da população é normal. Vamos resolver as partes (a) até (d) usando conceitos de estatística como variáveis aleatórias, distribuições e intervalos de confiança.
Passo 2
(a) Defina a Variável Aleatória
, em palavras.
Vamos definir a variável aleatória
. Básicamente, uma variável aleatória é algo que pode assumir diferentes valores dependendo do resultado de um experimento ou situação.
Passo 3
Então, para este caso,
representa o tempo que uma criança usa rodinhas de treinamento. Em palavras:
Passo 4
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
Como a população subjacente segue uma distribuição normal e estamos lidando com a média de uma amostra pequena (n=14), devemos usar a distribuição t-Student. Isso porque, com amostras menores e desconhecendo o desvio padrão da população, a distribuição t é mais apropriada para estimar a média populacional.
Passo 5
© Construa um intervalo de confiança de
para o tempo médio da população usando rodinhas de treinamento.
Vamos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
Onde:
-
meses (média amostral) -
meses (desvio padrão amostral) -
(tamanho da amostra) -
é o valor crítico da distribuição t para de confiança e graus de liberdade.
Passo 6
Primeiro, vamos achar o valor de
. Procurando uma tabela t ou usando uma calculadora, para
de confiança e 13 graus de liberdade, o valor é aproximadamente
.
Passo 7
Agora, calculamos o erro padrão:
Passo 8
Multiplicamos o erro padrão pelo valor t:
Passo 9
Construímos o intervalo de confiança:
Passo 10
(d) Por que o limite de erro mudaria se o nível de confiança fosse reduzido para
?
O limite de erro depende do valor crítico da distribuição que a gente usa. Se a gente diminui o nível de confiança de
para
, o valor
fica menor porque queremos menos certeza. Como o limite de erro é
, quando
diminui, o limite de erro também diminui. Isso faz com que o intervalo de confiança fique mais estreito.
Resposta
(a) A variável aleatória
é o tempo (em meses) que uma criança utiliza rodinhas de treinamento.
(b) Devemos usar a distribuição t-Student porque a população segue uma distribuição normal e o tamanho da amostra é pequeno (n=14).
© O intervalo de confiança de
para o tempo médio da população é aproximadamente
meses.
(d) O limite de erro diminui quando o nível de confiança é reduzido para
porque o valor crítico da distribuição t é menor, resultando em um intervalo mais estreito.