Em uma empresa de seguros, constatou-se por uma análise de dados, que a cada 2 horas são contratados doze seguros de carro.
b. Qual a probabilidade de que em 4 horas sejam contratados exatamente 20 seguros?

Passo 1

Então, temos um problema na área de probabilidade. A empresa de seguros observou que, a cada 2 horas, são contratados 12 seguros de carro. Queremos descobrir a probabilidade de que, em 4 horas, exatamente 20 seguros sejam contratados. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é útil para calcular a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a taxa média de contratos de seguros por hora. Sabemos que são 12 contratos a cada 2 horas, então:
Taxa média por hora = 12 contratos2 horas = 6 contratos por hora é

Passo 3

Como queremos saber a probabilidade em 4 horas, calculamos a taxa média para esse período:
lambda = 6 contratos/hora times 4 horas = 24 contratos
Aqui, representa a taxa média de ocorrência do evento (contratos de seguros) no intervalo de tempo considerado.

Passo 4

A Distribuição de Poisson é dada pela fórmula:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a base do logaritmo natural (~2.71828).
  • é a taxa média de ocorrência.
  • é o fatorial de .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula para encontrar a probabilidade de exatamente 20 contratos em 4 horas:
P(20; 24) = e^-24 times 24^2020!

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Calcular .
  2. Calcular .
  3. Calcular (20 fatorial).
  4. Dividir o resultado de por .

Passo 7

Usando uma calculadora ou software adequado:
e^-24 approx 3.775134544 times 10^-11
24^20 approx 2.801106383 times 10^28
20! = 2.432902008 times 10^18

Passo 8

Agora, multiplicamos 3.775134544 times 10^-11 times 2.801106383 times 10^28 approx 1.058 times 10^18 por :

Passo 9

Em seguida, dividimos esse resultado por 1.058 times 10^182.432902008 times 10^18 approx 0.435 :

Resposta

A probabilidade de que, em 4 horas, exatamente 20 seguros de carro sejam contratados é aproximadamente 43,5%.

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