De acordo com o princípio de Arquimedes, a massa de um objeto flutuante é igual à massa do fluido deslocado por este objeto. Se um cilindro de madeira de 30 cm de altura flutua verticalmente em um tubo de água (densidade
) e o topo do cilindro está a 14,1 cm acima da superfície da água, qual a densidade da madeira ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o princípio de Arquimedes, que basicamente diz que a massa de um objeto flutuando é igual à massa do fluido que ele desloca. Aqui, temos um cilindro de madeira de 30 cm de altura flutuando em água, e a gente precisa descobrir a densidade da madeira. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre densidade, volume e como calcular a massa com essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que a gente sabe:
- Altura total do cilindro: 30 cm
- Parte acima da água: 14,1 cm
- Densidade da água:
A parte do cilindro que está submersa na água é a diferença entre a altura total e a parte que está acima:
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume da parte submersa do cilindro. Para isso, precisamos do raio ou diâmetro do cilindro, mas como não foi fornecido, vamos assumir que os dois cilindros (madeira e deslocado) têm a mesma forma e, portanto, usamos as alturas para relacionar as densidades.
Passo 4
Pelo princípio de Arquimedes, a massa do fluido deslocado é igual à massa do objeto. A massa do fluido deslocado
pode ser calculada pela fórmula:
onde
é a densidade da água e
é o volume da parte do cilindro que está submersa.
Passo 5
A massa do cilindro de madeira
também pode ser expressa como:
Como o cilindro está flutuando, essas duas massas são iguais:
Passo 6
O volume total do cilindro
é proporcional à altura total, e o volume submerso
é proporcional à altura submersa. Então, podemos relacionar as alturas com as densidades:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 7
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A densidade da madeira é
.