Admita que exista algum metal hipotético que exibe comportamento ferromagnético e que possui (1) uma estrutura cristalina cúbica simples, (2) um raio atômico de 0,153 nm, e (3) uma densidade do fluxo de saturação de 0,76 teslas. Determine o número de magnétons de Bohr por átomo para este material.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ferromagnetismo! A gente vai precisar entender um pouco de magnetismo nos materiais, especialmente sobre como calcular o número de magnétons de Bohr por átomo. A questão nos dá uma estrutura cristalina cúbica simples, o raio atômico e a densidade do fluxo de saturação. Vamos usar essas informações para achar o número de magnétons por átomo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade do fluxo de saturação ( Bs) está relacionada ao número de magnons de Bohr por átomo ( n). A fórmula que liga esses valores é:
Bs = mu0 cdot n cdot muB cdot NA cdot Vcélula é
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , T·m/A),
  • muB é o magnéton de Bohr ( 9,274 times 10^-24 , J/T),
  • NA é o número de Avogadro ( 6,022 times 10^23 , mol^-1),
  • Vcélulaé é o volume da célula unitária.

Passo 3

Como a estrutura é cúbica simples, o volume da célula unitária ( Vcélulaé) é dado por:
Vcélula = a^3 é
Onde a é a aresta da célula cúbica. Sabemos que o raio at��mico ( r) está relacionado à aresta por:
a = 2r
Dado que r = 0,153 , nm = 0,153 times 10^-9 , m, então:
a = 2 times 0,153 times 10^-9 = 0,306 times 10^-9 , m
E:
Vcélula = (0,306 times 10^-9)^3 = 2,86 times 10^-29 , m^3 é

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a fórmula para encontrar n:
n = Bsmu0 cdot muB cdot NA cdot Vcélula é
Substituindo os valores:
n = 0,764pi times 10^-7 cdot 9,274 times 10^-24 cdot 6,022 times 10^23 cdot 2,86 times 10^-29

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
n = 0,764pi times 10^-7 times 9,274 times 10^-24 times 6,022 times 10^23 times 2,86 times 10^-29
Primeiro, multiplicamos os denominadores:
4pi times 10^-7 approx 1,2566 times 10^-6
1,2566 times 10^-6 times 9,274 times 10^-24 approx 1,165 times 10^-29
1,165 times 10^-29 times 6,022 times 10^23 approx 7,016 times 10^-6
7,016 times 10^-6 times 2,86 times 10^-29 approx 2,012 times 10^-34
Então:
n = 0,762,012 times 10^-34 approx 3,78 times 10^33

Resposta

O número de magnésicos de Bohr por átomo para esse material é aproximadamente 3,78 times 10^33 magnétons de Bohr por átomo.

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