As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes: 50 g, x=2,0 cm, y=2,0 cm; 25 g, x=0, y=4,0 cm ; 25 g, x=-3,0 cm, y=-3,0 cm ; 30 g, x=-2,0 cm, y=4,0 cm. Qual é momento de inércia do conjunto em relação ao eixo (a) x, (b) y e © z ? (d) Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam A e B, respectivamente. Nesse caso, qual é a resposta de © em termos de A e B?R:(a) 1,3 times 10^3 g cm^2; (b) 5,5 times 10^2 g cm^2; © 1,9 times 10^2 g cm^2; (d) A+B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente vai calcular o momento de inércia de um conjunto de quatro partículas em relação aos eixos , e . Para isso, precisamos saber as massas e as coordenadas de cada partícula. Vamos usar a fórmula do momento de inércia para pontos materiais e seguir passo a passo para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do momento de inércia ( I = m times r^2 ) para uma partícula:
Onde:
  • é a massa da partícula.
  • é a distância perpendicular da partícula ao eixo de rotação.
Dependendo do eixo que estamos considerando ( , ou ), a distância muda:
  • Em relação ao eixo : é a coordenada .
  • Em relação ao eixo : é a coordenada .
  • Em relação ao eixo : é a distância no plano , ou seja, .

Passo 3

Vamos organizar os dados das partículas:
  1. Partícula 1: , ,
  2. Partícula 2: , ,
  3. Partícula 3: , ,
  4. Partícula 4: , ,

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo Ix = sum m times y^2 . Para isso, usamos a coordenada Ix = 200 + 400 + 225 + 480 = 1,305 , g cm^2 de cada partícula:
Calculando para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para .

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo Iy = sum m times x^2 . Aqui, usamos a coordenada Iy = 200 + 0 + 225 + 120 = 545 , g cm^2 de cada partícula:
Calculando para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para .

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo Iz = sum m times (x^2 + y^2) . Para isso, usamos a distância no plano Iz = 400 + 400 + 450 + 600 = 1,850 , g cm^2 :
Calcular para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para .

Passo 7

Por fim, para a parte (d), queremos expressar Iz = Ix + Iy em termos de Iz = A + B e . Observamos que:
Então, se e , então:

Resposta

(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .

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