As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes:
;
. Qual é momento de inércia do conjunto em relação ao eixo (a)
, (b)
e ©
? (d) Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam A e B, respectivamente. Nesse caso, qual é a resposta de © em termos de A e B?R:(a)
; (b)
; ©
; (d)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente vai calcular o momento de inércia de um conjunto de quatro partículas em relação aos eixos
,
e
. Para isso, precisamos saber as massas e as coordenadas de cada partícula. Vamos usar a fórmula do momento de inércia para pontos materiais e seguir passo a passo para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do momento de inércia (
) para uma partícula:
Onde:
-
é a massa da partícula. -
é a distância perpendicular da partícula ao eixo de rotação.
Dependendo do eixo que estamos considerando (
,
ou
), a distância
muda:
- Em relação ao eixo
: é a coordenada . - Em relação ao eixo
: é a coordenada . - Em relação ao eixo
: é a distância no plano , ou seja, .
Passo 3
Vamos organizar os dados das partículas:
- Partícula 1:
, , - Partícula 2:
, , - Partícula 3:
, , - Partícula 4:
, ,
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
. Para isso, usamos a coordenada
de cada partícula:
Calculando para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
. Aqui, usamos a coordenada
de cada partícula:
Calculando para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
. Para isso, usamos a distância no plano
:
Calcular para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para
.
Passo 7
Por fim, para a parte (d), queremos expressar
em termos de
e
. Observamos que:
Então, se
e
, então:
Resposta
(a)
;
(b) ;
© ;
(d) .
(b)
©
(d)