As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes: ; . Qual é momento de inércia do conjunto em relação ao eixo (a) , (b) e © ? (d) Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam A e B, respectivamente. Nesse caso, qual é a resposta de © em termos de A e B?R:(a) ; (b) ; © ; (d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente vai calcular o momento de inércia de um conjunto de quatro partículas em relação aos eixos , e . Para isso, precisamos saber as massas e as coordenadas de cada partícula. Vamos usar a fórmula do momento de inércia para pontos materiais e seguir passo a passo para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do momento de inércia ( ) para uma partícula:
Onde:
  • é a massa da partícula.
  • é a distância perpendicular da partícula ao eixo de rotação.
Dependendo do eixo que estamos considerando ( , ou ), a distância muda:
  • Em relação ao eixo : é a coordenada .
  • Em relação ao eixo : é a coordenada .
  • Em relação ao eixo : é a distância no plano , ou seja, .

Passo 3

Vamos organizar os dados das partículas:
  1. Partícula 1: , ,
  2. Partícula 2: , ,
  3. Partícula 3: , ,
  4. Partícula 4: , ,

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo . Para isso, usamos a coordenada de cada partícula:
Calculando para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para .

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo . Aqui, usamos a coordenada de cada partícula:
Calculando para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para .

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo . Para isso, usamos a distância no plano :
Calcular para cada partícula:
Somando tudo:
Aproximando para .

Passo 7

Por fim, para a parte (d), queremos expressar em termos de e . Observamos que:
Então, se e , então:

Resposta

(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .

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