Admita que
dos homens possuem problemas circulatórios. Admita também que entre os homens com problemas circulatórios a probabilidade condicional de ser um fumante é o dobro da probabilidade de ser não fumante. Por outro lado, entre os homens que não tem problemas circulatórios, a probabilidade condicional de ser um fumante é de apenas 20%. Pede-se: utilize a regra ou teorema de Bayes para calcular a probabilidade condicional de se selecionar aleatoriamente um homem com problemas circulatórios, dado que o homem selecionado é um fumante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um problema de probabilidade usando o Teorema de Bayes. Basicamente, queremos descobrir qual a chance de um homem ter problemas circulatórios sabendo que ele é fumante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades condicionais e como aplicar o Teorema de Bayes na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que sabemos:
- Probabilidade de um homem ter problemas circulatórios ©: 1%, ou seja,
. - Probabilidade de um homem não ter problemas circulatórios (~C): 99%, então
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as probabilidades de ser fumante dado que o homem tem ou não problemas circulatórios.
-
Entre os homens com problemas circulatórios:A probabilidade de ser fumante (
) é o dobro da probabilidade de não ser fumante ( ). Vamos chamar a probabilidade de não ser fumante de . Então: Como as probabilidades somam 1:Portanto: -
Entre os homens sem problemas circulatórios:A probabilidade de ser fumante é dada diretamente:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de um homem ter problemas circulatórios dado que ele é fumante, ou seja,
.
O Teorema de Bayes é:
Onde
é a probabilidade total de ser fumante e pode ser calculada usando a regra da probabilidade total:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
-
Calculando
: -
Aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de um homem ter problemas circulatórios, dado que ele é fumante, é aproximadamente 3,25%.