Admita que 1 % dos homens possuem problemas circulatórios. Admita também que entre os homens com problemas circulatórios a probabilidade condicional de ser um fumante é o dobro da probabilidade de ser não fumante. Por outro lado, entre os homens que não tem problemas circulatórios, a probabilidade condicional de ser um fumante é de apenas 20%. Pede-se: utilize a regra ou teorema de Bayes para calcular a probabilidade condicional de se selecionar aleatoriamente um homem com problemas circulatórios, dado que o homem selecionado é um fumante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um problema de probabilidade usando o Teorema de Bayes. Basicamente, queremos descobrir qual a chance de um homem ter problemas circulatórios sabendo que ele é fumante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades condicionais e como aplicar o Teorema de Bayes na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que sabemos:
  • Probabilidade de um homem ter problemas circulatórios ©: 1%, ou seja, P(C) = 0,01.
  • Probabilidade de um homem não ter problemas circulatórios (~C): 99%, então P(sim C) = 0,99.

Passo 3

Agora, vamos analisar as probabilidades de ser fumante dado que o homem tem ou não problemas circulatórios.
  • Entre os homens com problemas circulatórios:
    A probabilidade de ser fumante ( S) é o dobro da probabilidade de não ser fumante ( sim S). Vamos chamar a probabilidade de não ser fumante de x. Então:
    P(S|C) = 2x
    P(sim S|C) = x
    Como as probabilidades somam 1:
    2x + x = 1
    3x = 1
    x = 13
    Portanto:
    P(S|C) = 23
    P(sim S|C) = 13
  • Entre os homens sem problemas circulatórios:
    A probabilidade de ser fumante é dada diretamente:
    P(S|sim C) = 0,20

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de um homem ter problemas circulatórios dado que ele é fumante, ou seja, P(C|S).
O Teorema de Bayes é:
P(C|S) = P(S|C) cdot P(C)P(S)
Onde P(S) é a probabilidade total de ser fumante e pode ser calculada usando a regra da probabilidade total:
P(S) = P(S|C) cdot P(C) + P(S|sim C) cdot P(sim C)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando P(S):
    P(S) = (23) cdot 0,01 + 0,20 cdot 0,99
    P(S) = 0,006666 + 0,198
    P(S) approx 0,204666
  2. Aplicando o Teorema de Bayes:
    P(C|S) = (23) cdot 0,010,204666
    P(C|S) = 0,0066660,204666
    P(C|S) approx 0,0325

Resposta

A probabilidade de um homem ter problemas circulatórios, dado que ele é fumante, é aproximadamente 3,25%.

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