Numa oficina de consertos de aparelhos eletrônicos, um técnico dedica-se a consertar placas de circuito impresso, substituindo elementos defeituosos (resistores, circuitos integrados etc) por novos. 0 tempo necessário ao conserto de cada placa compõe-se de três partes. Uma parte corresponde às etapas de preparação, reunião das peças necessárias, limpeza etc, e pode considerar-se constante para todas as placas. Outra parte corresponde à substituição propriamente dita dos elementos e pode ser considerada diretamente proporcional à quantidade de elementos a serem trocados. Por fim, há uma parcela não previsível devida às diferenças entre os circuitos das placas, facilidade de acesso aos elementos, perdas de tempo, erros de execução etc, que pode ser descrita por uma variável aleatória com distribuição normal cuja variância independe da quantidade de elementos a trocar na placa.
Os tempos reais gastos com os consertos de um conjunto de placas com quantidades predeterminadas de elementos a trocar estão a seguir.
Quantidade de elementos 2 4 5 7 8 10 12 13 16 17
Tempo de conserto (minutos) 23 20 27 53 50 55 56 70 83 83
Explique por que o modelo poderia ou não poderia ser usado para prever o tempo de conserto de uma placa com 32 elementos a serem trocados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um técnico que conserta placas de circuito impresso e o tempo que ele leva para isso. A gente precisa entender se o modelo que ele usa para calcular esse tempo pode prever quanto ele levaria para consertar uma placa com 32 elementos a trocar. Vamos usar conceitos de regressão linear e probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o modelo que está sendo usado. O tempo total de conserto ($ T $) é dividido em três partes:
  1. Tempo de preparação: é constante, não muda com a quantidade de elementos.
  2. Tempo de substituição dos elementos: é diretamente proporcional ao número de elementos. Isso significa que $ T $ aumenta linearmente conforme aumentam os elementos.
  3. Tempo imprevisível: é uma variável aleatória com distribuição normal e variância constante, independentemente de quantos elementos estão sendo trocados.
Então, podemos representar o modelo matematicamente assim:
T
Onde:
  • $ a $ é o tempo de preparação.
  • $ b $ é o tempo por elemento.
  • $ E $ é a quantidade de elementos a trocar.
  • $ \epsilon $ é o tempo imprevisível, que segue uma distribuição normal.

Passo 3

Agora, vamos analisar os dados fornecidos:
|c|c| hline Quantidade de e<=mentos (E) & Tempo de conserto (min) (T) hline 2 & 23 4 & 20 5 & 27 7 & 53 8 & 50 10 & 55 12 & 56 13 & 70 16 & 83 17 & 83 hline
Vamos observar como o tempo de conserto varia com a quantidade de elementos. Idealmente, deveríamos ver um aumento linear, mas parece que há bastante variação, especialmente para valores mais altos de elementos.

Passo 4

Para saber se o modelo pode prever o tempo para 32 elementos, precisamos verificar se a relação entre $ E $ e $ T $ continua linear além dos dados que temos. Isso é chamado de extrapolação.
No nosso caso, os maiores valores de $ E $ são 16 e 17, com $ T = 83 $ minutos. Se olharmos para $ E = 32 $, estamos bem além do que temos nos dados. A extrapolação pode ser arriscada porque não sabemos se a tendência linear continua.

Passo 5

Além disso, a grande variação nos tempos para mesmos valores de $ E $ indica que há muita influência do tempo imprevisível ($ \epsilon $). Isso pode tornar a previsão para $ E = 32 $ bastante incerta.

Passo 6

Outro ponto é que, com valores maiores de $ E $, o tempo total $ T $ pode crescer de forma não linear devido a fatores como dificuldade de acesso aos elementos ou limitações físicas no processo de conserto, que o modelo linear não considera.

Resposta

Então, o modelo proposto não é adequado para prever o tempo de conserto de uma placa com 32 elementos, porque estamos extrapolando além dos dados disponíveis e a relação entre elementos e tempo pode não continuar linear. Além disso, a grande variabilidade nos tempos atuais sugere que há muitos fatores imprevisíveis que o modelo não captura bem para números tão altos de elementos.

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