Admita que a massa da Terra seja 80 vezes superior à massa da Lua e que a distância entre os seus centros seja igual a 384.000 km. Calcule a que distância do centro da Lua está situado o centro de massa do sistema Terra-Lua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação envolvendo a Terra e a Lua. Sabemos que a massa da Terra é 80 vezes maior que a da Lua e que a distância entre os centros delas é de 384.000 km. Nosso objetivo é descobrir a que distância do centro da Lua está o centro de massa desse sistema Terra-Lua. Vamos usar conceitos de física sobre centro de massa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. Em um sistema com duas massas, o centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para efeitos de análise de movimento. A fórmula para encontrar a distância do centro de massa em relação a uma das massas é:
d = MM + m times D
Onde:
  • $ M $ é a massa da Terra.
  • $ m $ é a massa da Lua.
  • $ D $ é a distância entre os centros das duas massas.
  • $ d $ é a distância do centro de massa até o centro da Lua.

Passo 3

Sabemos que a massa da Terra é 80 vezes a massa da Lua, ou seja, $ M = 80m $. Vamos substituir esse valor na fórmula:
M = 80m

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão no denominador:
80m + m = 81m
Então, a fórmula fica:
d = 80m81m times 384.000 , km
As massas $ m $ se cancelam:
m

Passo 5

Vamos calcular essa fração:
8081 approx 0,9877
Multiplicando pelo valor da distância:
d approx 0,9877 times 384.000 , km approx 380.246,9 , km

Resposta

O centro de massa do sistema Terra-Lua está situado a aproximadamente 380.247 km do centro da Lua.

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