Admita que a massa da Terra seja 80 vezes superior à massa da Lua e que a distância entre os seus centros seja igual a 384.000 km. Calcule a que distância do centro da Lua está situado o centro de massa do sistema Terra-Lua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação envolvendo a Terra e a Lua. Sabemos que a massa da Terra é 80 vezes maior que a da Lua e que a distância entre os centros delas é de 384.000 km. Nosso objetivo é descobrir a que distância do centro da Lua está o centro de massa desse sistema Terra-Lua. Vamos usar conceitos de física sobre centro de massa para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. Em um sistema com duas massas, o centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para efeitos de análise de movimento. A fórmula para encontrar a distância do centro de massa em relação a uma das massas é:
Onde:
- $ M $ é a massa da Terra.
- $ m $ é a massa da Lua.
- $ D $ é a distância entre os centros das duas massas.
- $ d $ é a distância do centro de massa até o centro da Lua.
Passo 3
Sabemos que a massa da Terra é 80 vezes a massa da Lua, ou seja, $ M = 80m $. Vamos substituir esse valor na fórmula:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão no denominador:
Então, a fórmula fica:
As massas $ m $ se cancelam:
Passo 5
Vamos calcular essa fração:
Multiplicando pelo valor da distância:
Resposta
O centro de massa do sistema Terra-Lua está situado a aproximadamente 380.247 km do centro da Lua.