Um avião tem uma massa total de 2.000kg e a área total coberta por suas asas é de 30m2. O desenho de suas asas é tal que a velocidade de escoamento acima delas é 1,25 vezes maior que a velocidade abaixo, quando o avião está decolando. A densidade da atmosfera é 1,3 kg/m3. Que velocidade mínima (em km/h) de escoamento acima das asas precisa ser atingida para que o avião decole?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um avião que pesa 2.000 kg e tem asas com uma área total de 30 m². As asas são desenhadas de um jeito que o ar passa 1,25 vezes mais rápido por cima delas do que por baixo quando o avião está decolando. A densidade do ar é 1,3 kg/m³. Nosso objetivo é descobrir qual a velocidade mínima do ar passando por cima das asas que o avião precisa atingir para decolar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força de sustentação e como ela é gerada pelo fluxo de ar nas asas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para o avião decolar, a força de sustentação (que empurra o avião para cima) deve ser igual ou maior que o peso do avião. A força de sustentação pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
L = 12 times rho times S times (vacima^2 - vabaixo^2)
Onde:
  • $ L $ é a força de sustentação,
  • $ \rho $ é a densidade do ar,
  • $ S $ é a área das asas,
  • $ v_{acima} $ é a velocidade do ar acima das asas,
  • $ v_{abaixo} $ é a velocidade do ar abaixo das asas.

Passo 3

Sabemos que $ v_{acima} = 1,25 \times v_{abaixo} $. Vamos chamar $ v_{abaixo} $ de $ v $. Assim, $ v_{acima} = 1,25v $. Nosso objetivo é encontrar $ v_{acima} $, então vamos substituir $ v_{abaixo} $ por $ \frac{v_{acima}}{1,25} $ na fórmula da sustentação.

Passo 4

O peso do avião $ P $ é dado por:
P
Onde:
  • $ m = 2000 $ kg é a massa do avião,
  • $ g = 9,81 $ m/s² é a aceleração da gravidade.
Calculando o peso:
P = m times g

Passo 5

Para decolar, a força de sustentação $ L $ deve ser igual ao peso $ P $. Então:
L
Substituindo na fórmula de $ L $:
P

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Primeiro, calculamos a diferença de velocidades ao quadrado:
vacima^2 - ( vacima1,25 )^2 = vacima^2 ( 1 - 11,5625 )
= vacima^2 ( 1 - 0,64 )
= vacima^2 times 0,36
Substituindo de volta na equação:
12 times 1,3 times 30 times 0,36 times vacima^2 = 19620

Passo 7

Calculando os coeficientes:
12 times 1,3 = 0,65
0,65 times 30 = 19,5
19,5 times 0,36 = 7,02
Então:
7,02 times vacima^2 = 19620

Passo 8

Agora, isolamos $ v_{acima}^2 $:
vacima^2
vacima^2 = 196207,02
Então:
vacima^2 approx 2794
vacima = raiz2794

Passo 9

Por fim, vamos converter a velocidade de m/s para km/h:
52,85 m/s times 3600 s1000 m = 190.26 km/h

Resposta

A velocidade mínima do ar passando por cima das asas que o avião precisa atingir para decolar é aproximadamente 190,26 km/h.

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