Admita que o número de chegadas de navios a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuiçāo de Poisson. Sabe-se também que, considerando somente os dias em que chegam no máximo 2 navios, em 60 % desses dias chega no máximo 1 navio.
a) Qual o número médio diário de chegadas de navios a esse porto?

Passo 1

Vamos lá! Temos que o número de navios que chegam ao porto em um dia segue uma distribuição de Poisson. Além disso, sabemos que, nos dias em que chegam no máximo 2 navios, em 60% desses dias chega no máximo 1 navio. Nosso objetivo é descobrir qual é o número médio diário de chegadas de navios a esse porto, ou seja, encontrar o valor de na distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de que ocorram exatamente P(k) = lambda^k e^-lambdak! eventos (no caso, navios chegando) em um intervalo fixo de tempo é dada por:
Aqui, representa o número médio de eventos que acontecem no intervalo considerado.

Passo 3

Segundo, sabemos que:
P(X <= 1 mid X <= 2) = 0,6
Isso significa que, dado que chegaram no máximo 2 navios, a probabilidade de terem chegado no máximo 1 navio é de 60%. Pela definição de probabilidade condicional, podemos reescrever essa relação como:
P(X <= 1)P(X <= 2) = 0,6

Passo 4

Agora, vamos calcular P(X <= 1) = P(0) + P(1) = lambda^0 e^-lambda0! + lambda^1 e^-lambda1! = e^-lambda + lambda e^-lambda e P(X <= 2) = P(0) + P(1) + P(2) = e^-lambda + lambda e^-lambda + lambda^2 e^-lambda2 usando a fórmula da Poisson:

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação da probabilidade condicional:
e^-lambda + lambda e^-lambdae^-lambda + lambda e^-lambda + lambda^2 e^-lambda2 = 0,6
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 1 + lambda1 + lambda + lambda^22 = 0,6 :

Passo 6

Agora, vamos resolver para 1 + lambda = 0,6 (1 + lambda + lambda^22) :
2(1 + lambda) = 1,2 (1 + lambda + lambda^22)
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
2 + 2lambda = 1,2 + 1,2lambda + 0,6lambda^2
Isso se simplifica para:

Passo 7

Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática:
0,6lambda^2 - 0,8lambda - 0,8 = 0

Passo 8

Dividindo todos os termos por 0,2 para simplificar:
3lambda^2 - 4lambda - 4 = 0

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 3 cdot (-4)2 cdot 3
lambda = 4 pm raiz16 + 486
lambda = 4 pm raiz646
lambda = 4 pm 86
Obtemos duas soluções:
lambda = 126 = 2
lambda = -46 approx -0,666
Como representa uma média e não pode ser negativa, descartamos a solução negativa.

Resposta

O número médio diário de chegadas de navios ao porto é .

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