Admita que o número de chegadas de navios a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuiçāo de Poisson. Sabe-se também que, considerando somente os dias em que chegam no máximo 2 navios, em
desses dias chega no máximo 1 navio.
a) Qual o número médio diário de chegadas de navios a esse porto?
a) Qual o número médio diário de chegadas de navios a esse porto?
Passo 1
Vamos lá! Temos que o número de navios que chegam ao porto em um dia segue uma distribuição de Poisson. Além disso, sabemos que, nos dias em que chegam no máximo 2 navios, em 60% desses dias chega no máximo 1 navio. Nosso objetivo é descobrir qual é o número médio diário de chegadas de navios a esse porto, ou seja, encontrar o valor de
na distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de que ocorram exatamente
eventos (no caso, navios chegando) em um intervalo fixo de tempo é dada por:
Aqui,
representa o número médio de eventos que acontecem no intervalo considerado.
Passo 3
Segundo, sabemos que:
Isso significa que, dado que chegaram no máximo 2 navios, a probabilidade de terem chegado no máximo 1 navio é de 60%. Pela definição de probabilidade condicional, podemos reescrever essa relação como:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
usando a fórmula da Poisson:
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação da probabilidade condicional:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Isso se simplifica para:
Passo 7
Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática:
Passo 8
Dividindo todos os termos por 0,2 para simplificar:
Passo 9
Resolvendo a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
Obtemos duas soluções:
Como
representa uma média e não pode ser negativa, descartamos a solução negativa.
Resposta
O número médio diário de chegadas de navios ao porto é
.