Admita que o número de chegadas de navios a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuiçāo de Poisson. Sabe-se também que, considerando somente os dias em que chegam no máximo 2 navios, em desses dias chega no máximo 1 navio.
a) Qual o número médio diário de chegadas de navios a esse porto?

Passo 1

Vamos lá! Temos que o número de navios que chegam ao porto em um dia segue uma distribuição de Poisson. Além disso, sabemos que, nos dias em que chegam no máximo 2 navios, em 60% desses dias chega no máximo 1 navio. Nosso objetivo é descobrir qual é o número médio diário de chegadas de navios a esse porto, ou seja, encontrar o valor de na distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de que ocorram exatamente eventos (no caso, navios chegando) em um intervalo fixo de tempo é dada por:
Aqui, representa o número médio de eventos que acontecem no intervalo considerado.

Passo 3

Segundo, sabemos que:
Isso significa que, dado que chegaram no máximo 2 navios, a probabilidade de terem chegado no máximo 1 navio é de 60%. Pela definição de probabilidade condicional, podemos reescrever essa relação como:

Passo 4

Agora, vamos calcular e usando a fórmula da Poisson:

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação da probabilidade condicional:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Isso se simplifica para:

Passo 7

Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática:

Passo 8

Dividindo todos os termos por 0,2 para simplificar:

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
Obtemos duas soluções:
Como representa uma média e não pode ser negativa, descartamos a solução negativa.

Resposta

O número médio diário de chegadas de navios ao porto é .

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Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes:
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R . Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R . O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas.
c) Calcule o desvio-padrāo do ganho líquido nas condiçōes do item (b).
Sugestāo: Para cada possibilidade, analise qual seria o seu ganho líquido e qual a probabilidade de isso acontecer.
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a) Caso você aceite participar desse jogo, a sua expectativa de ganho líquido é positiva? Justifique a sua resposta.
Admita que o número de chegadas de navios a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuiçāo de Poisson. Sabe-se também que, considerando somente os dias em que chegam no máximo 2 navios, em desses dias chega no máximo 1 navio.
b) Considerando apenas os dias em que chegam pelo menos 2 navios, em quantos por cento desses dias costumam chegar pelo menos 3 navios?
Admita que a distribuiçāo de altura entre os jogadores de basquetebol é uma Normal com desvio-padrāo 20 cm . Sabe-se que desses jogadores têm mais de 2 m de altura.
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