Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes:
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R
. Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R
. O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas.
c) Calcule o desvio-padrāo do ganho líquido nas condiçōes do item (b).
Sugestāo: Para cada possibilidade, analise qual seria o seu ganho líquido e qual a probabilidade de isso acontecer.
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R
c) Calcule o desvio-padrāo do ganho líquido nas condiçōes do item (b).
Sugestāo: Para cada possibilidade, analise qual seria o seu ganho líquido e qual a probabilidade de isso acontecer.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem um jogo onde você lança um dado até conseguir tirar um 6 ou até tentar 3 vezes. Cada lançamento custa R$10, e se você tirar um 6 em até 3 tentativas, ganha R$100. Queremos descobrir qual é o desvio-padrão do ganho líquido nesse jogo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de probabilidade e estatística, especificamente como calcular o desvio-padrão, que mede o quanto os resultados podem variar em relação à média.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis situações que podem ocorrer no jogo:
-
Tirar um 6 no primeiro lançamento:
- Custo total: R$10
- Ganho: R$100
- Ganho líquido: R$100 - R$10 = R$90
-
Tirar um 6 no segundo lançamento:
- Custo total: R$20 (dois lançamentos)
- Ganho: R$100
- Ganho líquido: R$100 - R$20 = R$80
-
Tirar um 6 no terceiro lançamento:
- Custo total: R$30 (três lançamentos)
- Ganho: R$100
- Ganho líquido: R$100 - R$30 = R$70
-
Não tirar nenhum 6 em três lançamentos:
- Custo total: R$30
- Ganho: R$0
- Ganho líquido: R$0 - R$30 = -R$30
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações acontecer:
-
Tirar um 6 no primeiro lançamento:
- Probabilidade = 1/6 ≈ 0,1667
-
Tirar um 6 no segundo lançamento:
- Primeiro lançamento não é 6: 5/6
- Segundo lançamento é 6: 1/6
- Probabilidade total = (5/6) * (1/6) ≈ 0,1389
-
Tirar um 6 no terceiro lançamento:
- Primeiro e segundo lançamentos não são 6: (5/6)^2
- Terceiro lançamento é 6: 1/6
- Probabilidade total = (5/6)^2 * (1/6) ≈ 0,1157
-
Não tirar nenhum 6 em três lançamentos:
- Todos os lançamentos não são 6: (5/6)^3 ≈ 0,5787
Passo 4
Agora que temos os ganhos líquidos e suas probabilidades, vamos calcular a média (valor esperado) dos ganhos:
Passo 5
Para calcular o desvio-padrão, primeiro precisamos encontrar a variância. A variância é a média dos quadrados das diferenças entre cada ganho e a média, ponderada pelas probabilidades.
Vamos calcular cada termo:
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Para R$90:
-
Para R$80:
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Para R$70:
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Para -R$30:
Somando tudo, temos a variância:
Passo 6
Agora, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
O desvio-padrão do ganho líquido nesse jogo é de aproximadamente R$ 55,12.