Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes:
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R . Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R . O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas.
c) Calcule o desvio-padrāo do ganho líquido nas condiçōes do item (b).
Sugestāo: Para cada possibilidade, analise qual seria o seu ganho líquido e qual a probabilidade de isso acontecer.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem um jogo onde você lança um dado até conseguir tirar um 6 ou até tentar 3 vezes. Cada lançamento custa R$10, e se você tirar um 6 em até 3 tentativas, ganha R$100. Queremos descobrir qual é o desvio-padrão do ganho líquido nesse jogo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de probabilidade e estatística, especificamente como calcular o desvio-padrão, que mede o quanto os resultados podem variar em relação à média.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis situações que podem ocorrer no jogo:
  1. Tirar um 6 no primeiro lançamento:
    • Custo total: R$10
    • Ganho: R$100
    • Ganho líquido: R$100 - R$10 = R$90
  2. Tirar um 6 no segundo lançamento:
    • Custo total: R$20 (dois lançamentos)
    • Ganho: R$100
    • Ganho líquido: R$100 - R$20 = R$80
  3. Tirar um 6 no terceiro lançamento:
    • Custo total: R$30 (três lançamentos)
    • Ganho: R$100
    • Ganho líquido: R$100 - R$30 = R$70
  4. Não tirar nenhum 6 em três lançamentos:
    • Custo total: R$30
    • Ganho: R$0
    • Ganho líquido: R$0 - R$30 = -R$30

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações acontecer:
  1. Tirar um 6 no primeiro lançamento:
    • Probabilidade = 1/6 ≈ 0,1667
  2. Tirar um 6 no segundo lançamento:
    • Primeiro lançamento não é 6: 5/6
    • Segundo lançamento é 6: 1/6
    • Probabilidade total = (5/6) * (1/6) ≈ 0,1389
  3. Tirar um 6 no terceiro lançamento:
    • Primeiro e segundo lançamentos não são 6: (5/6)^2
    • Terceiro lançamento é 6: 1/6
    • Probabilidade total = (5/6)^2 * (1/6) ≈ 0,1157
  4. Não tirar nenhum 6 em três lançamentos:
    • Todos os lançamentos não são 6: (5/6)^3 ≈ 0,5787

Passo 4

Agora que temos os ganhos líquidos e suas probabilidades, vamos calcular a média (valor esperado) dos ganhos:
E[X] = (90 times 0,1667) + (80 times 0,1389) + (70 times 0,1157) + (-30 times 0,5787)
E[X] ≈ 15 + 11,112 + 8,1 - 17,361 ≈ 16,851 reais

Passo 5

Para calcular o desvio-padrão, primeiro precisamos encontrar a variância. A variância é a média dos quadrados das diferenças entre cada ganho e a média, ponderada pelas probabilidades.
Vamos calcular cada termo:
  1. Para R$90:
    90:** [ (90 - 16,851)^2 times 0,1667 ≈ (73,149)^2 times 0,1667 ≈ 5340,13 times 0,1667 ≈ 890,02 ] 2 **Para R
  2. Para R$80:
    (80 - 16,851)^2 times 0,1389 ≈ (63,149)^2 times 0,1389 ≈ 3981,06 times 0,1389 ≈ 552,64
  3. Para R$70:
    70:** [ (70 - 16,851)^2 times 0,1157 ≈ (53,149)^2 times 0,1157 ≈ 2822,99 times 0,1157 ≈ 326,61 ] 4 **Para -R
  4. Para -R$30:
    (-30 - 16,851)^2 times 0,5787 ≈ (-46,851)^2 times 0,5787 ≈ 2196,69 times 0,5787 ≈ 1270,93
Somando tudo, temos a variância:
Variância ≈ 890,02 + 552,64 + 326,61 + 1270,93 ≈ 3040,20 â

Passo 6

Agora, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio-padrão = raiz3040,20 ≈ 55,12 reais ã

Resposta

O desvio-padrão do ganho líquido nesse jogo é de aproximadamente R$ 55,12.

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