Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes:
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R
. Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R
. O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas.
a) Caso você aceite participar desse jogo, a sua expectativa de ganho líquido é positiva? Justifique a sua resposta.
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R
a) Caso você aceite participar desse jogo, a sua expectativa de ganho líquido é positiva? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está nos pedindo e que matéria vamos usar para resolver. A gente vai analisar um jogo de sorte onde você joga um dado até tirar um 6 ou até tentar 3 vezes. Cada tentativa custa R$10,00 e se tirar um 6 em até 3 jogadas, você ganha R$100,00. Queremos saber se, participando desse jogo, a sua expectativa de ganho líquido é positiva. Para isso, vamos usar Probabilidade e Valor Esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem acontecer no jogo:
- Tirar um 6 na 1ª tentativa.
- Tirar um 6 na 2ª tentativa.
- Tirar um 6 na 3ª tentativa.
- Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas.
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações acontecer.
Passo 3
A probabilidade de tirar um 6 em um único lançamento de dado justo é de
, e a probabilidade de não tirar um 6 é de
.
Agora, vamos calcular as probabilidades:
-
Tirar um 6 na 1ª tentativa:
- Probabilidade:
- Probabilidade:
-
Tirar um 6 na 2ª tentativa:
- Primeiro, não tirar 6 na 1ª tentativa:
- Depois, tirar 6 na 2ª tentativa:
- Probabilidade:
- Primeiro, não tirar 6 na 1ª tentativa:
-
Tirar um 6 na 3ª tentativa:
- Não tirar 6 na 1ª tentativa:
- Não tirar 6 na 2ª tentativa:
- Tirar 6 na 3ª tentativa:
- Probabilidade:
- Não tirar 6 na 1ª tentativa:
-
Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas:
- Não tirar 6 nas 1ª, 2ª e 3ª tentativas:
- Probabilidade:
Passo 4
Agora, vamos calcular o ganho líquido em cada situação:
-
Tirar um 6 na 1ª tentativa:
- Custo: R$10,00
- Prêmio: R$100,00
- Ganho líquido: R$100,00 - R$10,00 = R$90,00
-
Tirar um 6 na 2ª tentativa:
- Custo: 2 x R$10,00 = R$20,00
- Prêmio: R$100,00
- Ganho líquido: R$100,00 - R$20,00 = R$80,00
-
Tirar um 6 na 3ª tentativa:
- Custo: 3 x R$10,00 = R$30,00
- Prêmio: R$100,00
- Ganho líquido: R$100,00 - R$30,00 = R$70,00
-
Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas:
- Custo: 3 x R$10,00 = R$30,00
- Prêmio: R$0,00
- Ganho líquido: R$0,00 - R$30,00 = -R$30,00
Passo 5
Vamos agora calcular a expectativa de ganho líquido multiplicando cada ganho líquido pela sua respectiva probabilidade e somando tudo:
Vamos calcular cada parte:
Somando tudo:
Resposta
A expectativa de ganho líquido é de aproximadamente R$16,85, ou seja, é positiva. Então, se você participar desse jogo, em média, você vai ganhar R$16,85.