Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes:
Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R . Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R . O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas.
a) Caso você aceite participar desse jogo, a sua expectativa de ganho líquido é positiva? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está nos pedindo e que matéria vamos usar para resolver. A gente vai analisar um jogo de sorte onde você joga um dado até tirar um 6 ou até tentar 3 vezes. Cada tentativa custa R$10,00 e se tirar um 6 em até 3 jogadas, você ganha R$100,00. Queremos saber se, participando desse jogo, a sua expectativa de ganho líquido é positiva. Para isso, vamos usar Probabilidade e Valor Esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem acontecer no jogo:
  1. Tirar um 6 na 1ª tentativa.
  2. Tirar um 6 na 2ª tentativa.
  3. Tirar um 6 na 3ª tentativa.
  4. Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas.
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações acontecer.

Passo 3

A probabilidade de tirar um 6 em um único lançamento de dado justo é de 16, e a probabilidade de não tirar um 6 é de 56.
Agora, vamos calcular as probabilidades:
  1. Tirar um 6 na 1ª tentativa:
    • Probabilidade: 16
  2. Tirar um 6 na 2ª tentativa:
    • Primeiro, não tirar 6 na 1ª tentativa: 56
    • Depois, tirar 6 na 2ª tentativa: 16
    • Probabilidade: 56 times 16 = 536
  3. Tirar um 6 na 3ª tentativa:
    • Não tirar 6 na 1ª tentativa: 56
    • Não tirar 6 na 2ª tentativa: 56
    • Tirar 6 na 3ª tentativa: 16
    • Probabilidade: 56 times 56 times 16 = 25216
  4. Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas:
    • Não tirar 6 nas 1ª, 2ª e 3ª tentativas:
    • Probabilidade: 56 times 56 times 56 = 125216

Passo 4

Agora, vamos calcular o ganho líquido em cada situação:
  1. Tirar um 6 na 1ª tentativa:
    • Custo: R$10,00
    • Prêmio: R$100,00
    • Ganho líquido: R$100,00 - R$10,00 = R$90,00
  2. Tirar um 6 na 2ª tentativa:
    • Custo: 2 x R$10,00 = R$20,00
    • Prêmio: R$100,00
    • Ganho líquido: R$100,00 - R$20,00 = R$80,00
  3. Tirar um 6 na 3ª tentativa:
    • Custo: 3 x R$10,00 = R$30,00
    • Prêmio: R$100,00
    • Ganho líquido: R$100,00 - R$30,00 = R$70,00
  4. Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas:
    • Custo: 3 x R$10,00 = R$30,00
    • Prêmio: R$0,00
    • Ganho líquido: R$0,00 - R$30,00 = -R$30,00

Passo 5

Vamos agora calcular a expectativa de ganho líquido multiplicando cada ganho líquido pela sua respectiva probabilidade e somando tudo:
Expectativa = (16 times 90) + (536 times 80) + (25216 times 70) + (125216 times (-30))
Vamos calcular cada parte:
  1. 16 times 90 = 15
  2. 536 times 80 approx 11,11
  3. 25216 times 70 approx 8,10
  4. 125216 times (-30) approx -17,36
Somando tudo:
15 + 11,11 + 8,10 - 17,36 approx 16,85

Resposta

A expectativa de ganho líquido é de aproximadamente R$16,85, ou seja, é positiva. Então, se você participar desse jogo, em média, você vai ganhar R$16,85.

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