Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes: Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R . Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R . O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas. a) Caso você aceite participar desse jogo, a sua expectativa de ganho líquido é positiva? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está nos pedindo e que matéria vamos usar para resolver. A gente vai analisar um jogo de sorte onde você joga um dado até tirar um 6 ou até tentar 3 vezes. Cada tentativa custa R$10,00 e se tirar um 6 em até 3 jogadas, você ganha R$100,00. Queremos saber se, participando desse jogo, a sua expectativa de ganho líquido é positiva. Para isso, vamos usar **Probabilidade e Valor Esperado**.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem acontecer no jogo: 1. Tirar um 6 na 1ª tentativa. 2. Tirar um 6 na 2ª tentativa. 3. Tirar um 6 na 3ª tentativa. 4. Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas. Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações acontecer.

Passo 3

A probabilidade de tirar um 6 em um único lançamento de dado justo é de , e a probabilidade de **não** tirar um 6 é de . Agora, vamos calcular as probabilidades: 1. **Tirar um 6 na 1ª tentativa:** - Probabilidade: 2. **Tirar um 6 na 2ª tentativa:** - Primeiro, não tirar 6 na 1ª tentativa: - Depois, tirar 6 na 2ª tentativa: - Probabilidade: 3. **Tirar um 6 na 3ª tentativa:** - Não tirar 6 na 1ª tentativa: - Não tirar 6 na 2ª tentativa: - Tirar 6 na 3ª tentativa: - Probabilidade: 4. **Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas:** - Não tirar 6 nas 1ª, 2ª e 3ª tentativas: - Probabilidade:

Passo 4

Agora, vamos calcular o ganho líquido em cada situação: 1. **Tirar um 6 na 1ª tentativa:** - Custo: R$10,00 - Prêmio: R$100,00 - Ganho líquido: R$100,00 - R$10,00 = R$90,00 2. **Tirar um 6 na 2ª tentativa:** - Custo: 2 x R$10,00 = R$20,00 - Prêmio: R$100,00 - Ganho líquido: R$100,00 - R$20,00 = R$80,00 3. **Tirar um 6 na 3ª tentativa:** - Custo: 3 x R$10,00 = R$30,00 - Prêmio: R$100,00 - Ganho líquido: R$100,00 - R$30,00 = R$70,00 4. **Não tirar nenhum 6 nas 3 tentativas:** - Custo: 3 x R$10,00 = R$30,00 - Prêmio: R$0,00 - Ganho líquido: R$0,00 - R$30,00 = -R$30,00

Passo 5

Vamos agora calcular a expectativa de ganho líquido multiplicando cada ganho líquido pela sua respectiva probabilidade e somando tudo: Vamos calcular cada parte: 1. 2. 3. 4. Somando tudo:

Resposta

A expectativa de ganho líquido é de aproximadamente **R$16,85**, ou seja, é positiva. Então, se você participar desse jogo, em média, você vai ganhar R$16,85.

Exercícios relacionados

Um engenheiro civil deseja testar a hipótese de que a resistência média de todas as amostras de concreto em um determinado projeto é de pelo menos 26 MPa (megapascals). Ele coleta uma amostra de cubos de concreto e supõe que a média amostral é de 24 MPa . O engenheiro pretende realizar esse teste de hipótese com um nível de confiança de , levando em consideração que o desvio padrão das resistências do concreto é conhecido, ou seja, .
Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçōes. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades . Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores: c) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, nāo seja superior a 0,1 unidade com probabilidade 0,90 ? E se quiséssemos um erro máximo de 0,01 unidade com a mesma probabilidade?
Alguém propôs a você participar de um jogo cujas regras são as seguintes: Você terá que lançar um dado tantas vezes quanto for necessário até obter um 6 pela primeira vez. Cada lançamento do dado vai lhe custar R . Se você conseguir obter um 6 em no máximo 3 tentativas, ganhará um prêmio de R . O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro 6 ou quando você completar sem sucesso as 3 tentativas. c) Calcule o desvio-padrāo do ganho líquido nas condiçōes do item (b). Sugestāo: Para cada possibilidade, analise qual seria o seu ganho líquido e qual a probabilidade de isso acontecer.
Admita que o número de chegadas de navios a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuiçāo de Poisson. Sabe-se também que, considerando somente os dias em que chegam no máximo 2 navios, em desses dias chega no máximo 1 navio. a) Qual o número médio diário de chegadas de navios a esse porto?