Admita que o número de chegadas de navios a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuiçāo de Poisson. Sabe-se também que, considerando somente os dias em que chegam no máximo 2 navios, em 60 % desses dias chega no máximo 1 navio.
b) Considerando apenas os dias em que chegam pelo menos 2 navios, em quantos por cento desses dias costumam chegar pelo menos 3 navios?

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos lá! O exercício nos fala sobre o número de navios que chegam a um porto em um dia, e esse número segue uma distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos ocorrem de forma independente.
Aqui, a gente sabe que, em dias onde chegam no máximo 2 navios, 60% desses dias têm no máximo 1 navio chegando. Nosso objetivo é, considerando apenas os dias em que chegam pelo menos 2 navios, descobrir qual a porcentagem desses dias que costumam ter pelo menos 3 navios chegando.
Vamos precisar usar as fórmulas da distribuição de Poisson e entender conceitos de probabilidade condicional para resolver esse exercício.

Passo 2

Entendendo a Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é dada pela fórmula:
P(X = k) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrerem exatamente eventos.
  • é a média de eventos que acontecem no intervalo considerado.
  • é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).
  • é o fatorial de .

Passo 3

Configurando as Condições do Problema
Sabemos que em dias com no máximo 2 navios chegando, 60% têm no máximo 1 navio. Em termos de probabilidade condicional, isso é:
P(X <= 1 ,|, X <= 2) = 0,6
Usando a definição de probabilidade condicional:
P(X <= 1 ,|, X <= 2) = P(X <= 1)P(X <= 2) = 0,6

Passo 4

Calculando P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = lambda^0 cdot e^-lambda0! + lambda^1 cdot e^-lambda1! = e^-lambda(1 + lambda) e P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = e^-lambda(1 + lambda + lambda^22) com a Distribuição de Poisson
Vamos expressar essas probabilidades usando a fórmula de Poisson:

Passo 5

Montando a Equação para Encontrar e^-lambda(1 + lambda)e^-lambda(1 + lambda + lambda^22) = 0,6
Substituindo as expressões de 1 + lambda1 + lambda + lambda^22 = 0,6 e na equação condicional:
Simplificando dos dois lados:

Passo 6

Resolvendo para 1 + lambda = 0,6 (1 + lambda + lambda^22)
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
1 + lambda = 0,6 + 0,6lambda + 0,3lambda^2
Expandindo:
1 + lambda - 0,6 - 0,6lambda - 0,3lambda^2 = 0
Reorganizando todos os termos para um lado da equação:
0,4 + 0,4lambda - 0,3lambda^2 = 0
Simplificando:
4 + 4lambda - 3lambda^2 = 0
Multiplicando toda a equação por 10 para eliminar as casas decimais:
3lambda^2 - 4lambda - 4 = 0
Rearranjando:
lambda = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 3 cdot (-4)2 cdot 3 = 4 pm raiz16 + 486 = 4 pm raiz646 = 4 pm 86
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
lambda = 126 = 2 ou lambda = -46
As soluções são:
Desprezamos a solução negativa, pois representa uma média de eventos e não pode ser negativa.
Portanto, .

Passo 7

Calculando a Probabilidade Desejada em P(X >= 3 ,|, X >= 2)
Queremos encontrar a porcentagem de dias, considerando apenas aqueles em que chegam pelo menos 2 navios, que chegam pelo menos 3 navios. Matematicamente, isso é:
P(X >= 3 ,|, X >= 2) = P(X >= 3)P(X >= 2)
Usando a definição de probabilidade condicional:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) = 1 - e^-2(1 + 2 + 2^22) = 1 - e^-2(5)
Calculando cada parte:
  • P(X >= 2) = 1 - P(X <= 1) = 1 - e^-2(3) :
    P(X >= 3) approx 1 - 0,1353 times 5 = 1 - 0,6765 = 0,3235
  • P(X >= 2) approx 1 - 0,1353 times 3 = 1 - 0,4059 = 0,5941 :
    P(X >= 3 ,|, X >= 2) = 0,32350,5941 approx 0,544 ou 54,4%
Substituindo :
Agora, calculando a probabilidade condicional:

Resposta

Aproximadamente 54,4% dos dias com pelo menos 2 navios têm pelo menos 3 navios chegando.

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