Admita que o número de chegadas de navios a um porto durante um dia se comporta segundo uma distribuiçāo de Poisson. Sabe-se também que, considerando somente os dias em que chegam no máximo 2 navios, em
desses dias chega no máximo 1 navio.
b) Considerando apenas os dias em que chegam pelo menos 2 navios, em quantos por cento desses dias costumam chegar pelo menos 3 navios?
b) Considerando apenas os dias em que chegam pelo menos 2 navios, em quantos por cento desses dias costumam chegar pelo menos 3 navios?
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos lá! O exercício nos fala sobre o número de navios que chegam a um porto em um dia, e esse número segue uma distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos ocorrem de forma independente.
Aqui, a gente sabe que, em dias onde chegam no máximo 2 navios, 60% desses dias têm no máximo 1 navio chegando. Nosso objetivo é, considerando apenas os dias em que chegam pelo menos 2 navios, descobrir qual a porcentagem desses dias que costumam ter pelo menos 3 navios chegando.
Vamos precisar usar as fórmulas da distribuição de Poisson e entender conceitos de probabilidade condicional para resolver esse exercício.
Passo 2
Entendendo a Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrerem exatamente eventos. -
é a média de eventos que acontecem no intervalo considerado. -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828). -
é o fatorial de .
Passo 3
Configurando as Condições do Problema
Sabemos que em dias com no máximo 2 navios chegando, 60% têm no máximo 1 navio. Em termos de probabilidade condicional, isso é:
Usando a definição de probabilidade condicional:
Passo 4
Calculando
e
com a Distribuição de Poisson
Vamos expressar essas probabilidades usando a fórmula de Poisson:
Passo 5
Montando a Equação para Encontrar
Substituindo as expressões de
e
na equação condicional:
Simplificando
dos dois lados:
Passo 6
Resolvendo para
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Expandindo:
Reorganizando todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Multiplicando toda a equação por 10 para eliminar as casas decimais:
Rearranjando:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
As soluções são:
Desprezamos a solução negativa, pois
representa uma média de eventos e não pode ser negativa.
Portanto,
.
Passo 7
Calculando a Probabilidade Desejada em
Queremos encontrar a porcentagem de dias, considerando apenas aqueles em que chegam pelo menos 2 navios, que chegam pelo menos 3 navios. Matematicamente, isso é:
Usando a definição de probabilidade condicional:
Calculando cada parte:
-
: -
:
Substituindo
:
Agora, calculando a probabilidade condicional:
Resposta
Aproximadamente 54,4% dos dias com pelo menos 2 navios têm pelo menos 3 navios chegando.