Foi realizada uma pesquisa envolvendo uma amostra de 600 pacientes de um certo hospital. Cada um desses pacientes foi submetido a uma série de exames clínicos e, entre outras coisas, mediu-se o Índice Cardíaco ( em litros / min / m^2 ) de todos eles. Os 600 pacientes foram entāo classificados, de forma aleatória, em 40 grupos de 15 pacientes cada. Para um desses grupos, os valores medidos do Índice Cardíaco foram: 405, 348, 365, 291, 135, 260, 300, 155, 34, 294, 758, 472, 559, 143, 172.
a) Com base nesses valores, construa um intervalo de confiança para o valor médio mu do índice cardíaco ao nível de 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a construção de um intervalo de confiança para a média do Índice Cardíaco ( mu) baseado em uma amostra de 15 pacientes. Nosso objetivo é descobrir um intervalo onde, com 95% de confiança, a média verdadeira do Índice Cardíaco desse hospital está. Para isso, vamos precisar calcular a média e o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena (menos de 30).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( barx) dos valores do Índice Cardíaco. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de pacientes.
Valores: 405, 348, 365, 291, 135, 260, 300, 155, 34, 294, 758, 472, 559, 143, 172.
Vamos somar esses números:
405 + 348 + 365 + 291 + 135 + 260 + 300 + 155 + 34 + 294 + 758 + 472 + 559 + 143 + 172 = 4441
Agora, vamos dividir pela quantidade de pacientes (15):
barx = 444115 approx 296,07
Então, a média é aproximadamente 296,07 litros/ min / m^2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra ( s). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão dispersos em relação à média.
A fórmula para o desvio padrão é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
onde xi são os valores individuais, barx é a média, e n é o número de pacientes.
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
  • (405 - 296,07)^2 approx 11726,2
  • (348 - 296,07)^2 approx 2711,5
  • (365 - 296,07)^2 approx 4693,6
  • (291 - 296,07)^2 approx 25,7
  • (135 - 296,07)^2 approx 26183,9
  • (260 - 296,07)^2 approx 1291,6
  • (300 - 296,07)^2 approx 15,5
  • (155 - 296,07)^2 approx 19848,0
  • (34 - 296,07)^2 approx 68090,0
  • (294 - 296,07)^2 approx 4,3
  • (758 - 296,07)^2 approx 213657,6
  • (472 - 296,07)^2 approx 31.345,7
  • (559 - 296,07)^2 approx 69.140,3
  • (143 - 296,07)^2 approx 23426,3
  • (172 - 296,07)^2 approx 15525,0
Somando todos esses valores:
11726,2 + 2711,5 + 4693,6 + 25,7 + 26183,9 + 1291,6 + 15,5 + 19848,0 + 68090,0 + 4,3 + 213657,6 + 31345,7 + 69140,3 + 23426,3 + 15525,0 = 499, 955
Agora, dividimos pela quantidade de pacientes menos um (15 - 1 = 14):
s = raiz49995514 approx raiz35711,07 approx 189,0
Então, o desvio padrão é aproximadamente 189,0 litros/ min / m^2.

Passo 4

Com a média ( barx approx 296,07) e o desvio padrão ( s approx 189,0) em mãos, vamos construir o intervalo de confiança de 95% para a média.
Como a amostra é pequena (n < 30) e não sabemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student. Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para 95% de confiança e 14 graus de liberdade (n-1).
Consultando a tabela t, para 95% de confiança e 14 graus de liberdade, t0,025 approx 2,145.

Passo 5

A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2 times sraizn
Substituindo os valores:
296,07 pm 2,145 times 189,0raiz15
Primeiro, calcula a margem de erro:
189,0raiz15 approx 189,03,872 approx 48,78
2,145 times 48,78 approx 104,54
Agora, aplicamos à média:
296,07 - 104,54 approx 191,53
296,07 + 104,54 approx 400,61

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média do Índice Cardíaco é aproximadamente de 191,53 a 400,61 litros/ min / m^2.

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