Admita que uma pessoa esteja apoiada, em pé, sobre o fundo de um cilindro, e encostada em sua parede interna. O cilindro possui raio igual a 4,0 m e gira em torno do seu eixo vertical. Considerando g = 10 m/s² e o coeficiente de atrito estático μe entre a roupa e a superfície do cilindro igual a 0,40, a mínima velocidade angular ω que o cilindro deve ter para que, retirado o fundo dele, essa pessoa fique ‘presa’ à sua parede, é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma pessoa em pé dentro de um cilindro que está girando. O cilindro tem um raio de 4,0 metros e gira em torno do seu eixo vertical. Queremos descobrir qual a menor velocidade angular, chamada de
, que o cilindro precisa ter para que a pessoa fique grudada na parede interna quando o fundo for retirado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, forças envolvidas e o coeficiente de atrito estático.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na pessoa dentro do cilindro. Quando o cilindro gira, a pessoa sente uma força para fora, chamada de força centrífuga. Além disso, a gravidade puxa a pessoa para baixo. Para que a pessoa não escorregue, precisa haver uma força de atrito estático suficiente que contrarie a força da gravidade.
Passo 3
Vamos desenhar um diagrama de forças simplificado:
- Força Normal (
): Essa é a força exercida pela parede do cilindro na pessoa, perpendicular à parede. - Força da Gravidade (
): Puxa a pessoa para baixo. - Força de Atrito (
): Atua para cima, impedindo que a pessoa escorregue.
Como a pessoa está em equilíbrio vertical, a força de atrito deve equilibrar o peso da pessoa.
Passo 4
A força de atrito máximo que pode agir é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de atrito estático. -
é a força normal.
A força centrípeta necessária para manter a pessoa na trajetória circular é fornecida pela força normal:
Onde
é a aceleração centrípeta, que é:
Substituindo:
Passo 5
Agora, como a força de atrito precisa igualar o peso da pessoa para que ela não escorregue:
Substituindo
da equação anterior:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Agora, isolamos
:
Resposta
Substituindo os valores:
Portanto, a mínima velocidade angular que o cilindro deve ter é 2,5 rad/s.