Admita que uma pessoa esteja apoiada, em pé, sobre o fundo de um cilindro, e encostada em sua parede interna. O cilindro possui raio igual a 4,0 m e gira em torno do seu eixo vertical. Considerando g = 10 m/s² e o coeficiente de atrito estático μe entre a roupa e a superfície do cilindro igual a 0,40, a mínima velocidade angular ω que o cilindro deve ter para que, retirado o fundo dele, essa pessoa fique ‘presa’ à sua parede, é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma pessoa em pé dentro de um cilindro que está girando. O cilindro tem um raio de 4,0 metros e gira em torno do seu eixo vertical. Queremos descobrir qual a menor velocidade angular, chamada de omega, que o cilindro precisa ter para que a pessoa fique grudada na parede interna quando o fundo for retirado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, forças envolvidas e o coeficiente de atrito estático.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na pessoa dentro do cilindro. Quando o cilindro gira, a pessoa sente uma força para fora, chamada de força centrífuga. Além disso, a gravidade puxa a pessoa para baixo. Para que a pessoa não escorregue, precisa haver uma força de atrito estático suficiente que contrarie a força da gravidade.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de forças simplificado:
  1. Força Normal ( N): Essa é a força exercida pela parede do cilindro na pessoa, perpendicular à parede.
  2. Força da Gravidade ( mg): Puxa a pessoa para baixo.
  3. Força de Atrito ( f): Atua para cima, impedindo que a pessoa escorregue.
Como a pessoa está em equilíbrio vertical, a força de atrito deve equilibrar o peso da pessoa.

Passo 4

A força de atrito máximo que pode agir é dada por:
f = mue cdot N
Onde:
  • mue = 0,40 é o coeficiente de atrito estático.
  • N é a força normal.
A força centrípeta necessária para manter a pessoa na trajetória circular é fornecida pela força normal:
N = m cdot ac
Onde ac é a aceleração centrípeta, que é:
ac = omega^2 cdot r
Substituindo:
N = m cdot omega^2 cdot r

Passo 5

Agora, como a força de atrito precisa igualar o peso da pessoa para que ela não escorregue:
mue cdot N = m cdot g
Substituindo N da equação anterior:
mue cdot m cdot omega^2 cdot r = m cdot g
Podemos simplificar m dos dois lados:
mue cdot omega^2 cdot r = g
Agora, isolamos omega:
omega^2 = gmue cdot r
omega = raizgmue cdot r

Resposta

Substituindo os valores:
omega = raiz10, m/s²0,40 cdot 4,0, m ²
omega = raiz101,6
omega = raiz6,25
omega = 2,5, rad/s
Portanto, a mínima velocidade angular que o cilindro deve ter é 2,5 rad/s.

Exercícios relacionados