Dada a equação geral 6z – 6x2 – y2 = 0, determine a equação reduzida do paraboloide elíptico assinalando a alternativa correta:
a) z = x2/6 + y2/6. (errada)
b) z = x2 + y2.
c) z = -6x2 + y2.
d) z = x2 + y2/6.
a) z = x2/6 + y2/6. (errada)
b) z = x2 + y2.
c) z = -6x2 + y2.
d) z = x2 + y2/6.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação geral
e precisa transformar isso na equação reduzida de um paraboloide elíptico. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos superfícies no espaço através de equações matemáticas. Vamos usar álgebra básica para rearranjar essa equação e identificar qual das alternativas está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um paraboloide elíptico. É uma superfície tridimensional que parece uma parábola girada em torno do eixo z. A equação padrão desse paraboloide é da forma $ z = ax^2 + by^2 $, onde
e
são coeficientes que determinam a “abertura” da superfície nas direções x e y.
Passo 3
Agora, vamos pegar a equação que temos e tentar deixá-la na forma padrão. A equação dada é:
Nosso objetivo é isolar o
para deixar a equação na forma $ z = ··· $. Para isso, vamos mover os termos com
e
para o outro lado:
Passo 4
Em seguida, vamos dividir todos os termos por 6 para resolver o
:
Simplificando cada termo:
Resposta
A equação reduzida do paraboloide elíptico é $ z = x^2 + \frac{y^2}{6} $, que corresponde à alternativa d) z = x² + y²/6.