Seja Z a variável aleatória correspondente ao número de pontos de uma peça de dominó.
a) Construir a tabela e traçar o gráfico P(Z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ Z $ que representa o número de pontos em uma peça de dominó. O conteúdo aqui envolve probabilidade e combinatória. O que precisamos fazer é construir uma tabela que mostra a probabilidade de cada valor possível de $ Z $ e depois desenhar um gráfico dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantos pontos uma peça de dominó pode ter. Cada extremidade da peça tem de 0 a 6 pontos. Então, o total de pontos $ Z $ vai de $ 0 $ (quando ambas as extremidades têm 0 pontos) até $ 12 $ (quando ambas têm 6 pontos).

Passo 3

Agora, vamos calcular todas as combinações possíveis que resultam em cada valor de $ Z $. Por exemplo, para $ Z = 0 $, só tem uma combinação: $ (0,0) $. Para $ Z = 1 $, temos $ (0,1) $ e $ (1,0) $, e assim por diante.

Passo 4

Apesar de algumas combinações serem iguais devido à simetria das peças de dominó (por exemplo, $ (1,2) $ e $ (2,1) $ são a mesma peça), para calcular a probabilidade, vamos considerar todas as combinações distintas. Como cada extremidade tem 7 possibilidades (0 a 6), o total de combinações é $ 7 \times 7 = 49 $.

Passo 5

Agora, vamos contar quantas combinações resultam em cada valor de $ Z $:
  • $ Z = 0 $: $ (0,0) $ → 1 combinação
  • $ Z = 1 $: $ (0,1) $ e $ (1,0) $ → 2 combinações
  • $ Z = 2 $: $ (0,2) $, $ (1,1) $, $ (2,0) $ → 3 combinações
  • E assim por diante, até $ Z = 12 $: $ (6,6) $ → 1 combinação

Passo 6

Com isso, podemos montar a tabela de probabilidades $ P(Z) $:
P(Z)

Passo 7

Por fim, vamos traçar o gráfico de $ P(Z) $. No eixo horizontal (x) colocamos os valores de $ Z $ de 0 a 12, e no eixo vertical (y) colocamos as probabilidades correspondentes. Cada ponto $ (Z, P(Z)) $ será plotado, e podemos ligar os pontos para visualizar melhor a distribuição.

Resposta

A tabela de probabilidades $ P(Z) $ está construída conforme acima, e o gráfico será uma distribuição simétrica em forma de “V”, com a maior probabilidade em $ Z = 6 $ e diminuindo para os extremos $ Z = 0 $ e $ Z = 12 $.

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