Admita que a variável
tome valore 1, 2 e 3 com probabilidades
respectivamente.
b) Calcule usando as propriedades:
i)
;
ii)
;
iii)
;
iv)
;
v)
b) Calcule usando as propriedades:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores 1, 2 e 3 com as seguintes probabilidades:
- $ P(X = 1) = \frac{1}{3} $
- $ P(X = 2) = \frac{1}{6} $
- $ P(X = 3) = \frac{1}{2} $
Hoje vamos trabalhar com probabilidade discreta e função de distribuição acumulada (FDC). Precisaremos lembrar como calcular probabilidades de intervalos específicos e entender o que é a FDC para resolver as partes do exercício.
Passo 2
i) $ P(1 < X < 3) $
Vamos entender o que essa notação significa. $ 1 < X < 3 $ quer dizer que $ X $ é maior que 1 e menor que 3. Olhando os valores que $ X $ pode assumir (1, 2, 3), o único valor que satisfaz essa condição é o 2.
Então:
Passo 3
ii) $ P(1 \leq X \leq 2) $
Aqui, estamos falando de $ X $ maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2. Os valores que se encaixam nessa faixa são 1 e 2.
Então:
Passo 4
iii) $ P(1 < X \leq 3) $
Essa expressão quer dizer que $ X $ é maior que 1 e menor ou igual a 3. Os valores possíveis são 2 e 3.
Então:
Passo 5
iv) $ F(1) $
$ F(x) $ é a função de distribuição acumulada (FDC), que nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ x $. Então, $ F(1) $ é a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 1.
Como $ X $ só pode ser 1, 2 ou 3:
Passo 6
v) $ F(2) $
Agora, $ F(2) $ é a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 2. Isso inclui os valores 1 e 2.
Então:
Resposta
i) $ P(1 < X < 3) = \frac{1}{6} $
ii) $ P(1 \leq X \leq 2) = \frac{1}{2} $
iii) $ P(1 < X \leq 3) = \frac{2}{3} $
iv) $ F(1) = \frac{1}{3} $
v) $ F(2) = \frac{1}{2} $