Admita que a variável X tome valore 1, 2 e 3 com probabilidades 13, 16 e 12 respectivamente.
b) Calcule usando as propriedades:
i) P(1;
ii) P(1 <= x <= 2);
iii) P(1;
iv) F(1);
v) F(2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores 1, 2 e 3 com as seguintes probabilidades:
  • $ P(X = 1) = \frac{1}{3} $
  • $ P(X = 2) = \frac{1}{6} $
  • $ P(X = 3) = \frac{1}{2} $
Hoje vamos trabalhar com probabilidade discreta e função de distribuição acumulada (FDC). Precisaremos lembrar como calcular probabilidades de intervalos específicos e entender o que é a FDC para resolver as partes do exercício.

Passo 2

i) $ P(1 < X < 3) $

Vamos entender o que essa notação significa. $ 1 < X < 3 $ quer dizer que $ X $ é maior que 1 e menor que 3. Olhando os valores que $ X $ pode assumir (1, 2, 3), o único valor que satisfaz essa condição é o 2.
Então:
P(1 < X < 3)

Passo 3

ii) $ P(1 \leq X \leq 2) $

Aqui, estamos falando de $ X $ maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2. Os valores que se encaixam nessa faixa são 1 e 2.
Então:
P(1 <= X <= 2)

Passo 4

iii) $ P(1 < X \leq 3) $

Essa expressão quer dizer que $ X $ é maior que 1 e menor ou igual a 3. Os valores possíveis são 2 e 3.
Então:
P(1 < X <= 3)

Passo 5

iv) $ F(1) $

$ F(x) $ é a função de distribuição acumulada (FDC), que nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ x $. Então, $ F(1) $ é a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 1.
Como $ X $ só pode ser 1, 2 ou 3:
F(1)

Passo 6

v) $ F(2) $

Agora, $ F(2) $ é a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 2. Isso inclui os valores 1 e 2.
Então:
F(2)

Resposta

i) $ P(1 < X < 3) = \frac{1}{6} $
ii) $ P(1 \leq X \leq 2) = \frac{1}{2} $
iii) $ P(1 < X \leq 3) = \frac{2}{3} $
iv) $ F(1) = \frac{1}{3} $
v) $ F(2) = \frac{1}{2} $

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