Seja
,
i) Ache a finção de repartição e esboce o gráfico.
i) Ache a finção de repartição e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, temos uma função $ f(x) $ definida por partes:
Isso é uma função densidade de probabilidade (pdf). Queremos encontrar a função de repartição (cdf), que basicamente acumula as probabilidades até um certo ponto $ x $. Para resolver isso, vamos integrar $ f(x) $ em relação a $ x $.
Passo 2
A função de repartição $ F(x) $ é definida como:
Como $ f(x) $ é zero para $ x \leq 0 $ e $ x \geq 1 $, a integral se simplifica dependendo do valor de $ x $.
Passo 3
Para $ x < 0 $:
Isso porque a função $ f(x) $ é zero antes de $ x = 0 $, então não há probabilidade acumulada.
Passo 4
Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Integrando:
Avaliado de 0 a $ x $:
Passo 6
Para $ x > 1 $:
Porque toda a probabilidade já foi acumulada até $ x = 1 $.
Passo 7
Juntando tudo, a função de repartição $ F(x) $ fica:
O gráfico dessa função será uma curva que começa em 0, sobe até 1 no intervalo de 0 a 1, e depois se mantém em 1.
Resposta
A função de repartição é
e seu gráfico é uma curva que começa em 0, aumenta suavemente até 1 no intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $ e permanece constante em 1 para $ x > 1 $.