Admita que a velocidade do som num fluido, c, é dada por c=(Ev)^a(rho)^b, onde Ev é o modulo de elasticidade volumétrico e rho é a massa específica. Determine os valores das constantes a e b para que a equação fornecida seja dimensionalmente homogênea. Seu resultado é consistente com aquele apresentado na Eq. 1.19?
Obs: a equação 1.19 consta livro texto adotado (MUNSON, B.; YOUNG, D.; OKIISHI, T. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Tradução da 4^a edição americana, Editora Edgard Blücher Ltda, 2004).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma questão sobre a velocidade do som em um fluido, representada por . Aqui, é o módulo de elasticidade volumétrica e é a massa específica. Nosso objetivo é descobrir os valores de e para que essa equação seja dimensionalmente homogênea, ou seja, as unidades de ambos os lados da equação devem ser as mesmas. Para isso, vamos precisar entender as dimensões físicas de cada termo envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas:
  • Velocidade do som ( ): A velocidade é medida em metros por segundo, então suas dimensões são , onde representa comprimento e representa tempo.
  • Módulo de elasticidade volumétrica ( ): Essa grandeza relaciona a pressão com a deformação volumétrica. A pressão tem dimensões de força por área, ou seja, , onde é massa. Como está relacionado à pressão, suas dimensões também são .
  • Massa específica ( ): É a massa por volume, então suas dimensões são .

Passo 3

Agora, vamos substituir as dimensões na equação [L][T]^-1 = ([M][L]^-1[T]^-2)^a ([M][L]^-3)^b :

Passo 4

Vamos aplicar as potências nas dimensões:
[L][T]^-1 = [M]^a [L]^-a [T]^-2a times [M]^b [L]^-3b
Agora, agrupando os termos semelhantes:
[L][T]^-1 = [M]^a + b [L]^-a - 3b [T]^-2a

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais, as potências de cada dimensão devem ser iguais nos dois lados da equação. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação:
-2a = -1 implies a = 12
Agora, substituindo 12 + b = 0 implies b = -12 na primeira equação:

Resposta

Os valores das constantes são e . Isso garante que a equação seja dimensionalmente homogênea e é consistente com a Eq. 1.19 do livro adotado.

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