Uma cápsula com uma determinada droga consiste em uma drágea esférica de
de diâmetro contendo uma concentração inicial uniforme de
de Dramin.
5a
Qual a concentração residual de Dramin no centro da drágea esférica após 48 horas?
5b
Considere agora que a capsula seja um cubo com
de lado. Recalcule o item (a).
5c
Considere agora que a cápsula seja um cilindro de diâmetro
e espessura de
. Recalcule o item (a).
Dados:
Dramin - espécie
; matriz de gel - espécie
na temperatura de
.
5a
Qual a concentração residual de Dramin no centro da drágea esférica após 48 horas?
5b
Considere agora que a capsula seja um cubo com
5c
Considere agora que a cápsula seja um cilindro de diâmetro
Dados:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata da difusão de uma droga chamada Dramin dentro de uma cápsula. No item 5a, temos uma drágea esférica com diâmetro de
e uma concentração inicial uniforme de
de Dramin. Precisamos encontrar a concentração residual de Dramin no centro da drágea após 48 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender como ocorre a difusão em materiais sólidos e usar a equação de difusão para esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o tempo de 48 horas para segundos, já que a unidade de difusão
está em
.
Passo 3
A difusão de uma substância em uma esfera pode ser descrita pela equação de difusão em coordenadas esféricas. Para simplificar, consideramos que a concentração no centro dependerá da distância que as moléculas de Dramin percorrem ao longo do tempo.
A distância média de difusão
pode ser estimada pela fórmula:
onde:
-
é o coeficiente de difusão, -
é o tempo.
Passo 4
Calculando a distância média de difusão:
Passo 5
A drágea esférica tem um raio
. Comparando com a distância média de difusão
, vemos que
é aproximadamente igual ao raio da esfera. Isso indica que, após 48 horas, a maioria das moléculas de Dramin terá atingido o centro da drágea.
Passo 6
Considerando a concentração inicial uniforme de
e a difusão completa até o centro, podemos estimar que a concentração residual no centro será significativamente menor. Para uma difusão completa, a concentração no centro tende a zero. No entanto, como nossa estimativa de
está muito próxima do raio, ainda haverá uma pequena concentração residual.
Passo 7
Para uma estimativa mais precisa, usamos a solução da equação de difusão para uma esfera e consideramos a concentração no centro após o tempo
:
onde:
-
, -
, -
, -
.
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série:
Passo 8
Calculando o expoente:
Então:
Calculando
e
:
Resposta
Após 48 horas, a concentração residual de Dramin no centro da drágea esférica é aproximadamente
.