Uma cápsula com uma determinada droga consiste em uma drágea esférica de de diâmetro contendo uma concentração inicial uniforme de de Dramin.
5a
Qual a concentração residual de Dramin no centro da drágea esférica após 48 horas?
5b
Considere agora que a capsula seja um cubo com de lado. Recalcule o item (a).
5c
Considere agora que a cápsula seja um cilindro de diâmetro e espessura de . Recalcule o item (a).
Dados: Dramin - espécie ; matriz de gel - espécie na temperatura de .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata da difusão de uma droga chamada Dramin dentro de uma cápsula. No item 5a, temos uma drágea esférica com diâmetro de e uma concentração inicial uniforme de de Dramin. Precisamos encontrar a concentração residual de Dramin no centro da drágea após 48 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender como ocorre a difusão em materiais sólidos e usar a equação de difusão para esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o tempo de 48 horas para segundos, já que a unidade de difusão está em .

Passo 3

A difusão de uma substância em uma esfera pode ser descrita pela equação de difusão em coordenadas esféricas. Para simplificar, consideramos que a concentração no centro dependerá da distância que as moléculas de Dramin percorrem ao longo do tempo.
A distância média de difusão pode ser estimada pela fórmula:
onde:
  • é o coeficiente de difusão,
  • é o tempo.

Passo 4

Calculando a distância média de difusão:

Passo 5

A drágea esférica tem um raio . Comparando com a distância média de difusão , vemos que é aproximadamente igual ao raio da esfera. Isso indica que, após 48 horas, a maioria das moléculas de Dramin terá atingido o centro da drágea.

Passo 6

Considerando a concentração inicial uniforme de e a difusão completa até o centro, podemos estimar que a concentração residual no centro será significativamente menor. Para uma difusão completa, a concentração no centro tende a zero. No entanto, como nossa estimativa de está muito próxima do raio, ainda haverá uma pequena concentração residual.

Passo 7

Para uma estimativa mais precisa, usamos a solução da equação de difusão para uma esfera e consideramos a concentração no centro após o tempo :
onde:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série:

Passo 8

Calculando o expoente:
Então:
Calculando e :

Resposta

Após 48 horas, a concentração residual de Dramin no centro da drágea esférica é aproximadamente .

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