Uma cápsula com uma determinada droga consiste em uma drágea esférica de 0,652 cm de diâmetro contendo uma concentração inicial uniforme de 68,9 mg cdot cm^-3 de Dramin.
5a
Qual a concentração residual de Dramin no centro da drágea esférica após 48 horas?
5b
Considere agora que a capsula seja um cubo com 0,652 cm de lado. Recalcule o item (a).
5c
Considere agora que a cápsula seja um cilindro de diâmetro 0,652 cm e espessura de 0,3 cm. Recalcule o item (a).
Dados: DA B( Dramin - espécie A; matriz de gel - espécie B)=3 times 10^-7 cm^2 cdot s^-1 na temperatura de 37 ^circ C.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata da difusão de uma droga chamada Dramin dentro de uma cápsula. No item 5a, temos uma drágea esférica com diâmetro de e uma concentração inicial uniforme de de Dramin. Precisamos encontrar a concentração residual de Dramin no centro da drágea após 48 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender como ocorre a difusão em materiais sólidos e usar a equação de difusão para esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o tempo de 48 horas para segundos, já que a unidade de difusão 48 , horas = 48 times 3600 , segundos = 172800 , segundos está em .

Passo 3

A difusão de uma substância em uma esfera pode ser descrita pela equação de difusão em coordenadas esféricas. Para simplificar, consideramos que a concentração no centro dependerá da distância que as moléculas de Dramin percorrem ao longo do tempo.
A distância média de difusão x = raiz2 D t pode ser estimada pela fórmula:
onde:
  • é o coeficiente de difusão,
  • é o tempo.

Passo 4

Calculando a distância média de difusão:
x = raiz2 times 3 times 10^-7 , cm^2 cdot s^-1 times 172800 , s = raiz2 times 3 times 10^-7 times 172800
x = raiz2 times 3 times 172800 times 10^-7 = raiz1036800 times 10^-7 = raiz0,10368 approx 0,3217 , cm

Passo 5

A drágea esférica tem um raio . Comparando com a distância média de difusão , vemos que é aproximadamente igual ao raio da esfera. Isso indica que, após 48 horas, a maioria das moléculas de Dramin terá atingido o centro da drágea.

Passo 6

Considerando a concentração inicial uniforme de e a difusão completa até o centro, podemos estimar que a concentração residual no centro será significativamente menor. Para uma difusão completa, a concentração no centro tende a zero. No entanto, como nossa estimativa de está muito próxima do raio, ainda haverá uma pequena concentração residual.

Passo 7

Para uma estimativa mais precisa, usamos a solução da equação de difusão para uma esfera e consideramos a concentração no centro após o tempo C(0,t) = C0 (1 - 6pi^2 sumn=1^infty 1n^2 e^-n^2 pi^2 D t / R^2) :
C(0,t) approx C0 (1 - 6pi^2 e^-pi^2 D t / R^2)
onde:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série:

Passo 8

Calculando o expoente:
pi^2 D tR^2 = pi^2 times 3 times 10^-7 times 172800(0,326)^2 approx 9,8696 times 3 times 10^-7 times 1728000,106 approx 5,9213 times 10^-20,106 approx 0,5592
Então:
C(0,t) approx 68,9 (1 - 6pi^2 e^-0,5592)
Calculando C(0,t) approx 68,9 (1 - 0,6079 times 0,572) approx 68,9 (1 - 0,3476) approx 68,9 times 0,6524 approx 44,98 , mg cdot cm^-3 e :

Resposta

Após 48 horas, a concentração residual de Dramin no centro da drágea esférica é aproximadamente .

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