Admite-se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 horas. Analisando-se 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3 continuem funcionando após 600 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre válvulas eletrônicas que têm uma probabilidade de 0,3 de funcionarem mais de 600 horas. A gente tem 10 dessas válvulas e precisa descobrir a probabilidade de pelo menos 3 delas continuarem funcionando depois desse tempo. Vamos precisar usar a probabilidade binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 10 válvulas) e cada tentativa tem duas possibilidades: sucesso (funcionar >600h) ou fracasso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que “pelo menos 3” significa. Isso inclui 3, 4, 5,… até 10 válvulas funcionando. Mas calcular cada uma dessas probabilidades individualmente pode ser chato. Então, vamos usar uma estratégia mais fácil: calcular a probabilidade de ter menos de 3 válvulas funcionando (ou seja, 0, 1 ou 2) e depois subtrair isso de 1. Assim, teremos a probabilidade que queremos.
Passo 3
Vamos relembrar a fórmula da probabilidade binomial:
Onde:
- $ n = 10 $ (número de válvulas)
- $ p = 0,3 $ (probabilidade de uma válvula funcionar >600h)
- $ k $ é o número de sucessos (válvulas funcionando)
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 0, 1 e 2 válvulas funcionarem:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar a probabilidade de ter menos de 3 válvulas funcionando:
Passo 6
Finalmente, para encontrar a probabilidade de pelo menos 3 válvulas funcionando, subtraímos essa soma de 1:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 3 das 10 válvulas continuem funcionando após 600 horas é aproximadamente 61,72%.