Admitindo que esses dados seguem uma distribuição Normal, a um nível de significância de 5% é possível afirmar que o teor médio de óleo e graxas é superior a 21 mg / l ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, com base em uma distribuição Normal, podemos afirmar que o teor médio de óleo e graxas é maior que 21 mg/L, usando um nível de significância de 5%. A matéria aqui é Estatística, especificamente Teste de Hipóteses para a média. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como hipótese nula, hipótese alternativa, estatística de teste, nível de significância e valor-p.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses. A hipótese nula ( H0) é a que queremos testar, e geralmente representa uma posição de “não efeito” ou “nenhuma diferença”. A hipótese alternativa ( Ha) é o que queremos provar.
  • Hipótese Nula ( H0): O teor médio de óleo e graxas é igual a 21 mg/L.
    H0: mu = 21 mg/L
  • Hipótese Alternativa ( Ha): O teor médio de óleo e graxas é maior que 21 mg/L.
    Ha: mu > 21 mg/L

Passo 3

Agora, escolhemos o nível de significância, que no caso é 5% ou 0,05. Esse valor representa a probabilidade máxima que estamos dispostos a aceitar de cometer um erro Tipo I, que é rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

Passo 4

Com as hipóteses definidas e o nível de significância escolhido, precisamos calcular a estatística de teste. Como estamos trabalhando com uma distribuição Normal e queremos comparar a média, usamos o teste z ou t, dependendo se conhecemos ou não o desvio padrão da população.
A fórmula da estatística z é:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média amostral,
  • mu0 é a média hipotética (21 mg/L),
  • sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Depois de calcular o valor de z, comparamos esse valor com o valor crítico da distribuição Normal para o nível de significância escolhido. Como nossa hipótese alternativa é unilateral (maior que), vamos olhar a tabela z para encontrar o valor correspondente a 0,05 de significância.
O valor crítico z para 5% é aproximadamente 1,645.

Passo 6

Se o valor calculado de z for maior que 1,645, rejeitamos a hipótese nula em favor da hipótese alternativa. Caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Finalmente, interpretamos o resultado no contexto do problema. Se rejeitarmos H0, podemos afirmar que há evidências suficientes para dizer que o teor médio de óleo e graxas é superior a 21 mg/L ao nível de 5% de significância.

Resposta

Seguindo os passos acima, se o valor calculado de z for maior que 1,645, então sim, é possível afirmar que o teor médio de óleo e graxas é superior a 21 mg/L com um nível de significância de 5%. Caso contrário, não podemos fazer essa afirmação.

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