Um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade revelou que esta variável se distribui normalmente, com média de 1.72 m e desvio padrão de 0.05 m . Calcule:
A porcentagem de alunos desta faculdade com altura entre 1.67 m e 1.77 m ;
A porcentagem de alunos desta faculdade com altura entre 1.67 m e 1.77 m ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a distribuição da altura dos alunos de uma faculdade. A altura segue uma distribuição normal, que é tipo uma curva em formato de sino. A média das alturas é 1,72 metros e o desvio padrão é 0,05 metros. O que a gente precisa descobrir é qual a porcentagem de alunos que têm altura entre 1,67 m e 1,77 m. Vamos precisar usar a distribuição normal e entender como calcular probabilidades nessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é média e desvio padrão. A média é o valor central, aí temos 1,72 m. O desvio padrão, que é 0,05 m, mostra o quanto as alturas variam em torno da média. Em uma distribuição normal, cerca de 68% dos dados ficam dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois, e 99,7% dentro de três.
Passo 3
Agora, queremos saber a porcentagem de alunos com altura entre 1,67 m e 1,77 m. Vamos calcular quantos desvios padrão essas alturas estão da média. Para isso, usamos a fórmula do escore z:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos comparar (1,67 m ou 1,77 m),
- $ \mu $ é a média (1,72 m),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (0,05 m).
Passo 4
Vamos calcular o z para 1,67 m:
E para 1,77 m:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a área sob a curva normal entre z = -1 e z = 1. Essa área representa a porcentagem de alunos com alturas entre 1,67 m e 1,77 m. Sabemos que aproximadamente 68% dos dados em uma distribuição normal estão dentro de um desvio padrão da média (entre z = -1 e z = 1).
Passo 6
Portanto, a porcentagem de alunos com altura entre 1,67 m e 1,77 m é aproximadamente 68%.
Resposta
Cerca de 68% dos alunos têm altura entre 1,67 m e 1,77 m.