Um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade revelou que esta variável se distribui normalmente, com média de 1.72 m e desvio padrão de 0.05 m . Calcule:
A porcentagem de alunos desta faculdade com altura entre 1.67 m e 1.77 m ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a distribuição da altura dos alunos de uma faculdade. A altura segue uma distribuição normal, que é tipo uma curva em formato de sino. A média das alturas é 1,72 metros e o desvio padrão é 0,05 metros. O que a gente precisa descobrir é qual a porcentagem de alunos que têm altura entre 1,67 m e 1,77 m. Vamos precisar usar a distribuição normal e entender como calcular probabilidades nessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é média e desvio padrão. A média é o valor central, aí temos 1,72 m. O desvio padrão, que é 0,05 m, mostra o quanto as alturas variam em torno da média. Em uma distribuição normal, cerca de 68% dos dados ficam dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois, e 99,7% dentro de três.

Passo 3

Agora, queremos saber a porcentagem de alunos com altura entre 1,67 m e 1,77 m. Vamos calcular quantos desvios padrão essas alturas estão da média. Para isso, usamos a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos comparar (1,67 m ou 1,77 m),
  • $ \mu $ é a média (1,72 m),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (0,05 m).

Passo 4

Vamos calcular o z para 1,67 m:
z = 1,67 - 1,720,05 = -0,050,05 = -1
E para 1,77 m:
z = 1,77 - 1,720,05 = 0,050,05 = 1

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a área sob a curva normal entre z = -1 e z = 1. Essa área representa a porcentagem de alunos com alturas entre 1,67 m e 1,77 m. Sabemos que aproximadamente 68% dos dados em uma distribuição normal estão dentro de um desvio padrão da média (entre z = -1 e z = 1).

Passo 6

Portanto, a porcentagem de alunos com altura entre 1,67 m e 1,77 m é aproximadamente 68%.

Resposta

Cerca de 68% dos alunos têm altura entre 1,67 m e 1,77 m.

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