Admitindo-se que a probabilidade de nascimentos de meninos e meninas sejam a mesma, calcule a probabilidade de um casal com 6 filhos, terem 4 filhos homens e 2 mulheres.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um casal que tem 6 filhos, e queremos calcular a probabilidade de exatamente 4 desses filhos serem meninos e 2 serem meninas. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é útil quando estamos lidando com eventos que têm duas possibilidades, como menino ou menina neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a probabilidade de ter um menino ou uma menina. A questão diz que as probabilidades são iguais, então:
P(menino) = 0,5 e P(menina) = 0,5

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula da probabilidade binomial. A fórmula geral é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o número total de tentativas (neste caso, 6 filhos),
  • é o número de sucessos desejados (4 meninos),
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,5 para menino),
  • é a combinação de elementos tomados a .

Passo 4

Vamos calcular a combinação C(6, 4) = 6!4! times (6 - 4)! = 6 times 52 times 1 = 15 . A combinação nos diz de quantas formas podemos escolher 4 meninos dentre 6 filhos sem se importar com a ordem:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(4) = 15 times (0,5)^4 times (0,5)^6 - 4 = 15 times (0,5)^4 times (0,5)^2
Simplificando os poderes de 0,5:
(0,5)^4 times (0,5)^2 = (0,5)^4 + 2 = (0,5)^6 = 164
Então:
P(4) = 15 times 164 = 1564 approx 0,234375

Resposta

A probabilidade de um casal com 6 filhos ter exatamente 4 meninos e 2 meninas é de aproximadamente 23,44%.

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