Adriana e Bernardo casaram recentemente. Eles observaram que os casais de ambas as famílias tiveram, no máximo, 2 filhos. Contrariando as escolhas desses casais, eles revelaram que pretendem ter 5 filhos. Bernardo não se importa com a quantidade de meninos e meninas que, por ventura, nascerem. Porém, Adriana sonha em ser mãe de 2 meninas e 3 meninos. Sendo assim, qual é a probabilidade de o sonho de Adriana se realizar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Adriana e Bernardo que decidiram ter 5 filhos, mesmo que nas famílias deles os casais tenham no máximo 2 filhos. Bernardo não se importa com o gênero dos filhos, mas Adriana quer especificamente ter 2 meninas e 3 meninos. A gente vai usar probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, para calcular a chance de isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada nascimento é um evento independente, ou seja, o resultado de um não afeta o outro. Além disso, vamos supor que a chance de ter menino ou menina é a mesma: 50% ou 0,5 para cada.

Passo 3

A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, com uma probabilidade de sucesso $ p $ em cada tentativa. A fórmula é:
k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ elementos tomados de $ k $ em $ k $.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.
  • $ n $ é o número total de tentativas.

Passo 4

No nosso caso:
  • $ n = 5 $ (total de filhos)
  • $ k = 2 $ (quantidade de meninas que Adriana deseja)
  • $ p = 0,5 $ (probabilidade de ter menina em cada nascimento)
Primeiro, vamos calcular $ C(5, 2) $, que é o número de formas de escolher 2 meninas dentre 5 filhos.
n = 5

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula da distribuição binomial:
P(2) = 10 times (0,5)^2 times (1 - 0,5)^5 - 2 = 10 times 0,25 times 0,125

Passo 6

Vamos calcular isso:
10 times 0,25 = 2,5
2,5 times 0,125 = 0,3125

Passo 7

Então, a probabilidade de Adriana ter exatamente 2 meninas e 3 meninos em 5 filhos é de 0,3125, ou seja, 31,25%.

Resposta

A probabilidade de o sonho de Adriana se realizar é de 31,25%.

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