Adriana e Bernardo casaram recentemente. Eles observaram que os casais de ambas as famílias tiveram, no máximo, 2 filhos. Contrariando as escolhas desses casais, eles revelaram que pretendem ter 5 filhos. Bernardo não se importa com a quantidade de meninos e meninas que, por ventura, nascerem. Porém, Adriana sonha em ser mãe de 2 meninas e 3 meninos. Sendo assim, qual é a probabilidade de o sonho de Adriana se realizar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Adriana e Bernardo que decidiram ter 5 filhos, mesmo que nas famílias deles os casais tenham no máximo 2 filhos. Bernardo não se importa com o gênero dos filhos, mas Adriana quer especificamente ter 2 meninas e 3 meninos. A gente vai usar probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, para calcular a chance de isso acontecer.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que cada nascimento é um evento independente, ou seja, o resultado de um não afeta o outro. Além disso, vamos supor que a chance de ter menino ou menina é a mesma: 50% ou 0,5 para cada.
Passo 3
A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, com uma probabilidade de sucesso $ p $ em cada tentativa. A fórmula é:
Onde:
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ elementos tomados de $ k $ em $ k $.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
- $ n $ é o número total de tentativas.
Passo 4
No nosso caso:
- $ n = 5 $ (total de filhos)
- $ k = 2 $ (quantidade de meninas que Adriana deseja)
- $ p = 0,5 $ (probabilidade de ter menina em cada nascimento)
Primeiro, vamos calcular $ C(5, 2) $, que é o número de formas de escolher 2 meninas dentre 5 filhos.
Passo 5
Agora, aplicamos os valores na fórmula da distribuição binomial:
Passo 6
Vamos calcular isso:
Passo 7
Então, a probabilidade de Adriana ter exatamente 2 meninas e 3 meninos em 5 filhos é de 0,3125, ou seja, 31,25%.
Resposta
A probabilidade de o sonho de Adriana se realizar é de 31,25%.