Determine os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos relativos e o gráfico da função f(x)= x³ - 2x + 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os intervalos onde a função está crescendo ou diminuindo, os máximos e mínimos relativos, e também desenhar o gráfico da função $ f(x) = x^3 - 2x + 1 $.
Para isso, vamos usar alguns conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde essa derivada é zero ou não existe (esses são os pontos críticos), e analisar o sinal da derivada para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) = x^3 - 2x + 1 $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.
A derivada de $ x^3 $ é $ 3x^2 $, e a derivada de $ -2x $ é $ -2 $. A constante $ +1 $ desaparece porque a derivada de uma constante é zero. Então:
f(x) = x^3 - 2x + 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, $ f’(x) = 3x^2 - 2 $ é um polinômio, que existe para todos os valores de $ x $. Então, só precisamos resolver quando a derivada é igual a zero:
f'(x) = 3x^2 - 2
Resolvendo para $ x $:
x
Então, os pontos críticos são $ x = \frac{\sqrt{6}}{3} $ e $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) = 3x^2 - 2 $ em diferentes intervalos determinados pelos pontos críticos.
Vamos dividir a linha dos números em três intervalos:
  1. $ x < -\frac{\sqrt{6}}{3} $
  2. $ -\frac{\sqrt{6}}{3} < x < \frac{\sqrt{6}}{3} $
  3. $ x > \frac{\sqrt{6}}{3} $
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e ver se $ f’(x) $ é positivo ou negativo.
  • Intervalo 1: Vamos escolher $ x = -1 $.
f'(x) = 3x^2 - 2
Então, $ f(x) $ está crescente nesse intervalo.
  • Intervalo 2: Vamos escolher $ x = 0 $.
x < -raiz63
Então, $ f(x) $ está decrescente nesse intervalo.
  • Intervalo 3: Vamos escolher $ x = 1 $.
-raiz63 < x < raiz63
Então, $ f(x) $ está crescente nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os máximos e mínimos relativos usando os pontos críticos e o comportamento da derivada.
  • No ponto $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $:
Antes desse ponto, a derivada era positiva (função crescendo), e depois ela se torna negativa (função decrescendo). Isso indica que temos um máximo relativo nesse ponto.
  • No ponto $ x = \frac{\sqrt{6}}{3} $:
Antes desse ponto, a derivada era negativa (função decrescendo), e depois ela se torna positiva (função crescendo). Isso indica que temos um mínimo relativo nesse ponto.
Vamos calcular os valores de $ f(x) $ nesses pontos para saber suas coordenadas exatas.
x = -raiz63
Simplificando:
x = raiz63
E para $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $:
f(x)
Então, temos:
  • Máximo relativo em $ \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{9} + 1\right) $
  • Mínimo relativo em $ \left(\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{4\sqrt{6}}{9} + 1\right) $

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x) = x^3 - 2x + 1 $ são $ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $. A função está crescendo nos intervalos $ x < -\frac{\sqrt{6}}{3} $ e $ x > \frac{\sqrt{6}}{3} $, e decrescendo no intervalo $ -\frac{\sqrt{6}}{3} < x < \frac{\sqrt{6}}{3} $. Há um máximo relativo em $ \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{9} + 1\right) $ e um mínimo relativo em $ \left(\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{4\sqrt{6}}{9} + 1\right) $. O gráfico da função apresenta uma curva em “S”, passando por esses pontos de máximo e mínimo.

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