Se as adutoras da SABESP apresentam um vazamento por dia por 10 km de linha, qual a chance de se encontrar, em uma inspeção de um trecho qualquer de 5 km :
entre um e três vazamentos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vazamentos nas adutoras da SABESP, onde em 10 km de linha tem, em média, 1 vazamento por dia. A questão quer saber qual a chance de, ao inspecionar um trecho de 5 km, encontrar entre 1 e 3 vazamentos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que ocorrem de forma aleatória e independente em um espaço ou tempo fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um intervalo específico, sabendo a taxa média desses eventos. A fórmula da Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência.
  • $ e $ é a constante de Euler (aproximadamente 2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor de $ \lambda $ para os 5 km que vamos inspecionar. Sabemos que em 10 km há, em média, 1 vazamento por dia. Então, para 5 km:
lambda

Passo 4

Queremos a probabilidade de encontrar entre 1 e 3 vazamentos. Isso significa calcular $ P(1; 0.5) + P(2; 0.5) + P(3; 0.5) $.
Vamos calcular cada termo:
  1. Para 1 vazamento ($ k = 1 $):
P(1; 0.5) + P(2; 0.5) + P(3; 0.5)
  1. Para 2 vazamentos ($ k = 2 $):
k = 1
  1. Para 3 vazamentos ($ k = 3 $):
P(1; 0.5) = e^-0.5 times 0.5^11! = e^-0.5 times 0.5 approx 0,3033

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter a chance total de encontrar entre 1 e 3 vazamentos:
P(1 <= k <= 3) = 0,3033 + 0,0758 + 0,0126 approx 0,3917

Resposta

A chance de encontrar entre um e três vazamentos em uma inspeção de 5 km é aproximadamente 39,17%.

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