A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 0,20. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que:
exatamente 4 acertem o alvo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de um arqueiro acertar o alvo com uma flecha, que é de 0,20 (ou 20%). Ele vai lançar 30 flechas no total. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 4 dessas flechas acertarem o alvo?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é usada quando temos uma sequência de experimentos independentes, cada um com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). No nosso caso, “acertar o alvo” é um sucesso, e “errar” é um fracasso. Precisamos calcular a probabilidade de exatamente 4 sucessos em 30 tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial. Ela é dada por:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 3

Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
  • $ n = 30 $ (número total de flechas lançadas)
  • $ k = 4 $ (número de flechas que queremos que acerte)
  • $ p = 0,20 $ (probabilidade de acertar o alvo com uma flecha)

Passo 4

Primeiro, calculamos a combinação $ C(n, k) $, que é o número de maneiras de escolher 4 flechas que acertam dentre as 30 lançadas. A fórmula para combinação é:
C(n, k)
Onde “!” significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Vamos calcular $ C(30, 4) $:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Podemos simplificar isso:
C(30, 4)

Passo 5

Agora, calculamos $ p^k $, que é a probabilidade de 4 flechas acertarem:
p^k

Passo 6

Em seguida, calculamos $ (1 - p)^{n - k} $, que é a probabilidade das outras flechas errarem:
(1 - p)^n - k
Vamos calcular isso:
(1 - p)^n - k = 0,80^26

Passo 7

Agora, juntamos tudo na fórmula da distribuição binomial:
P(4) = C(30, 4) times 0,20^4 times 0,80^26
Substituindo os valores que calculamos:
P(4) = 27.405 times 0,0016 times 0,0007

Passo 8

Finalmente, multiplicamos esses números para obter a probabilidade:
P(4) approx 27.405 times 0,0016 times 0,0007 approx 0,0307

Resposta

A probabilidade de exatamente 4 flechas acertarem o alvo é de aproximadamente 3,07%.

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