A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 0,20. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que:
exatamente 4 acertem o alvo?
exatamente 4 acertem o alvo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de um arqueiro acertar o alvo com uma flecha, que é de 0,20 (ou 20%). Ele vai lançar 30 flechas no total. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 4 dessas flechas acertarem o alvo?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é usada quando temos uma sequência de experimentos independentes, cada um com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). No nosso caso, “acertar o alvo” é um sucesso, e “errar” é um fracasso. Precisamos calcular a probabilidade de exatamente 4 sucessos em 30 tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial. Ela é dada por:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
- $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ de cada vez.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
Passo 3
Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
- $ n = 30 $ (número total de flechas lançadas)
- $ k = 4 $ (número de flechas que queremos que acerte)
- $ p = 0,20 $ (probabilidade de acertar o alvo com uma flecha)
Passo 4
Primeiro, calculamos a combinação $ C(n, k) $, que é o número de maneiras de escolher 4 flechas que acertam dentre as 30 lançadas. A fórmula para combinação é:
Onde “!” significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Vamos calcular $ C(30, 4) $:
Podemos simplificar isso:
Passo 5
Agora, calculamos $ p^k $, que é a probabilidade de 4 flechas acertarem:
Passo 6
Em seguida, calculamos $ (1 - p)^{n - k} $, que é a probabilidade das outras flechas errarem:
Vamos calcular isso:
Passo 7
Agora, juntamos tudo na fórmula da distribuição binomial:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos esses números para obter a probabilidade:
Resposta
A probabilidade de exatamente 4 flechas acertarem o alvo é de aproximadamente 3,07%.