Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: c) f(x)=(4-x)^(2/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandir a função usando a série binomial. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e, mais especificamente, da série binomial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da série binomial para expoentes fracionários e aplicar ela na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série binomial. Podemos fatorar o 4 de dentro do parêntese:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da série binomial para qualquer expoente :
Onde é o coeficiente binomial definido como:
No nosso caso, e .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da série binomial, temos:

Passo 5

Agora, multiplicando pelo que fizemos no Passo 2, a expansão completa da função fica:

Resposta

A expansão em série de potências de é:

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