Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: c) f(x)=(4-x)^(2/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandir a função usando a série binomial. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e, mais especificamente, da série binomial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da série binomial para expoentes fracionários e aplicar ela na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série binomial. Podemos fatorar o 4 de dentro do parêntese:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da série binomial para qualquer expoente :
Onde é o coeficiente binomial definido como:
No nosso caso, e .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da série binomial, temos:

Passo 5

Agora, multiplicando pelo que fizemos no Passo 2, a expansão completa da função fica:

Resposta

A expansão em série de potências de é:

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<html><head></head><body><div>Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: b) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.816ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“21.531ex” height=“2.513ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 9516.5 1110.6”><title>f(x) = sen(x), a = pi / 6</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g 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-11 132 -11Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(244.7,-345) scale(0.707)”><path data-c=“36” d=“M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z”></path></g><rect width=“603.1” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
Mostre que cosh(x) ≥ 1 + 1/2 * x^2, para todo x real.
As afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas? Justifique a sua resposta: b) Se converge em x = 2, então converge em x = -1.
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: b) ( ) é convergente;