Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de potências da função
centrada no ponto
. Isso significa que vamos expandir o seno em uma série de potências ao redor desse ponto específico e descobrir para quais valores de
essa série representa a função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Basicamente, é uma soma infinita de termos da forma
, onde
são os coeficientes que a gente precisa encontrar, e
é o ponto ao redor do qual estamos expandindo a função. No nosso caso,
.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
, usamos a fórmula da série de Taylor. A fórmula geral para a série de Taylor de uma função
em torno de
é:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Sabemos que:
E esse ciclo se repete a cada quatro derivadas.
Passo 5
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
E assim por diante para derivadas de ordem superior.
Passo 6
Com os valores das derivadas, podemos montar a série de Taylor:
Simplificando um pouco:
Passo 7
Finalmente, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para funções como
tem raio de convergência infinito. Isso significa que a série representa a função
para todo valor real de
.
Resposta
A série de potências de
em torno de
é:
E essa série converge para todos os números reais
.