Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas são representadas pelas correspondentes séries: b) f(x) = sen(x), a = pi / 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de potências da função centrada no ponto . Isso significa que vamos expandir o seno em uma série de potências ao redor desse ponto específico e descobrir para quais valores de essa série representa a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Basicamente, é uma soma infinita de termos da forma , onde são os coeficientes que a gente precisa encontrar, e é o ponto ao redor do qual estamos expandindo a função. No nosso caso, .

Passo 3

Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula da série de Taylor. A fórmula geral para a série de Taylor de uma função em torno de é:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em . Sabemos que:
E esse ciclo se repete a cada quatro derivadas.

Passo 5

Agora, vamos avaliar cada derivada em :
E assim por diante para derivadas de ordem superior.

Passo 6

Com os valores das derivadas, podemos montar a série de Taylor:
Simplificando um pouco:

Passo 7

Finalmente, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para funções como tem raio de convergência infinito. Isso significa que a série representa a função para todo valor real de .

Resposta

A série de potências de em torno de é:
E essa série converge para todos os números reais .

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