Seja sumn=1^infty an x^n uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas:
a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma série de potências da forma sumn=1^infty an x^n que tem raio de convergência igual a 2. Nosso objetivo aqui é descobrir se o número 1 está dentro do intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência R de uma série de potências nos diz até que ponto (em termos de valores de x) a série converge. Se o raio de convergência é 2, isso significa que a série converge para todos os valores de x cujo valor absoluto é menor que 2.
Matematicamente, isso dá o intervalo -2 < x < 2. Esse é o intervalo aberto, mas a gente também precisa verificar os pontos nas extremidades, ou seja, x = -2 e x = 2, para ver se a série também converge nesses pontos. Porém, para essa questão específica, só precisamos saber se 1 está no intervalo.

Passo 3

Agora, vamos ver onde está o número 1 em relação ao intervalo de convergência que encontramos: -2 < x < 2. Claramente, 1 está entre -2 e 2.
Como 1 está dentro do intervalo onde sabemos que a série converge, podemos afirmar que a série realmente converge para x = 1.

Resposta

A afirmação é necessariamente verdadeira.

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