Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas:
a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma série de potências da forma
que tem raio de convergência igual a 2. Nosso objetivo aqui é descobrir se o número 1 está dentro do intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência
de uma série de potências nos diz até que ponto (em termos de valores de
) a série converge. Se o raio de convergência é 2, isso significa que a série converge para todos os valores de
cujo valor absoluto é menor que 2.
Matematicamente, isso dá o intervalo
. Esse é o intervalo aberto, mas a gente também precisa verificar os pontos nas extremidades, ou seja,
e
, para ver se a série também converge nesses pontos. Porém, para essa questão específica, só precisamos saber se 1 está no intervalo.
Passo 3
Agora, vamos ver onde está o número 1 em relação ao intervalo de convergência que encontramos:
. Claramente, 1 está entre -2 e 2.
Como 1 está dentro do intervalo onde sabemos que a série converge, podemos afirmar que a série realmente converge para
.
Resposta
A afirmação é necessariamente verdadeira.