Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: d) ( ) é divergente;
Passo 1
Vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma série de potências que tem raio de convergência igual a 2. A questão pede pra gente dizer se a série é divergente ou não, justificando a resposta.
Passo 2
Primeiro, o que é esse raio de convergência? Basicamente, ele nos diz para quais valores de a série converge. Se o raio é 2, isso significa que a série vai convergir para todos os onde e vai divergir para . Nos pontos onde , a gente precisa analisar separadamente, mas isso não vai ser necessário aqui.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série . Podemos reescrever isso como , ou seja, estamos avaliando a série original no ponto .
Passo 4
Então, qual é o valor de nesse caso? Temos , que é menor que 2. Isso significa que estamos dentro do raio de convergência da série original. Portanto, de acordo com a definição do raio de convergência, a série converge.