Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(k) ( ) Se A B=C e duas das matrizes são inversíveis, então a terceira também é.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três matrizes , e que se relacionam pela equação . A matéria que estamos lidando aqui é álgebra linear, mais especificamente propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver essa questão, vamos precisar saber como funciona a inversão de matrizes e como as matrizes se comportam quando são multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso significa que podemos “desfazer” a multiplicação por se tivermos .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada: . A questão diz que duas dessas três matrizes são invertíveis e pergunta se a terceira também deve ser invertível.

Passo 4

Vamos considerar os diferentes casos onde duas matrizes são invertíveis:
  1. A^-1 times C = A^-1 times A times B Rightarrow A^-1 times C = I times B Rightarrow B = A^-1 times C e A times C^-1 = A times B times B^-1 Rightarrow A times C^-1 = I Rightarrow A = I times C^-1 Rightarrow A = C^-1 são invertíveis:
    • Sabemos que o produto de duas matrizes invertíveis é também invertível.
    • Assim, seria invertível porque tanto quanto são invertíveis.
  2. e são invertíveis:
    • Se é invertível, podemos multiplicar os dois lados da equação por para encontrar :
    • Como e são invertíveis, o produto também é invertível. Portanto, é invertível.
  3. e são invertíveis:
    • Se é invertível, podemos multiplicar os dois lados da equação por para encontrar :
    • Portanto, é invertível.

Passo 5

Em todos os casos, se duas das matrizes , e são invertíveis, a terceira também deve ser invertível para que a equação faça sentido.

Resposta

Sim, se duas das matrizes , e são invertíveis, a terceira também é invertível.

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