Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(k) ( ) Se
e duas das matrizes são inversíveis, então a terceira também é.
(k) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três matrizes
,
e
que se relacionam pela equação
. A matéria que estamos lidando aqui é álgebra linear, mais especificamente propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver essa questão, vamos precisar saber como funciona a inversão de matrizes e como as matrizes se comportam quando são multiplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso significa que podemos “desfazer” a multiplicação por
se tivermos
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada:
. A questão diz que duas dessas três matrizes são invertíveis e pergunta se a terceira também deve ser invertível.
Passo 4
Vamos considerar os diferentes casos onde duas matrizes são invertíveis:
-
e são invertíveis: - Sabemos que o produto de duas matrizes invertíveis é também invertível.
- Assim,
seria invertível porque tanto quanto são invertíveis.
-
e são invertíveis: - Se
é invertível, podemos multiplicar os dois lados da equação por para encontrar : - Como
e são invertíveis, o produto também é invertível. Portanto, é invertível.
- Se
-
e são invertíveis: - Se
é invertível, podemos multiplicar os dois lados da equação por para encontrar : - Portanto,
é invertível.
- Se
Passo 5
Em todos os casos, se duas das matrizes
,
e
são invertíveis, a terceira também deve ser invertível para que a equação
faça sentido.
Resposta
Sim, se duas das matrizes
,
e
são invertíveis, a terceira também é invertível.