Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que os vetores , e são linearmente dependentes (LD), ou seja, que existe uma combinação dos três vetores que resulta no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dependência linear e combinação linear. Precisamos montar uma equação onde e mostrar que existe uma solução diferente de .
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os vetores , e pelas expressões dadas:
Agora, substituímos na combinação linear:
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Como , e são vetores arbitrários, para que a equação acima seja igual ao vetor zero, cada coeficiente deve ser igual a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar valores de alpha = -2beta - gamma , -2(-2beta - gamma) + beta + 8gamma = 0 4beta + 2gamma + beta + 8gamma = 0 5beta + 10gamma = 0 beta = -2gamma e alpha = -2(-2gamma) - gamma = 4gamma - gamma = 3gamma que não sejam todos zero. Isso mostrará que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, provando que os vetores são LD.
Por fim, substituindo e na terceira equação para verificar:
Isso confirma que a solução é consistente.
Resposta
Portanto, existe uma combinação não trivial (, , arbitrário) que satisfaz . Assim, os vetores , e são linearmente dependentes, independentemente dos vetores , e .