Prove que (a, b, c) é LD, quaisquer que sejam u, v e w. a=u-2 v+w, b=2 u+v+3 w, c=u+8 v+3 w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que os vetores , e são linearmente dependentes (LD), ou seja, que existe uma combinação dos três vetores que resulta no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dependência linear e combinação linear. Precisamos montar uma equação onde e mostrar que existe uma solução diferente de .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os vetores a = u - 2v + w , b = 2u + v + 3w e c = u + 8v + 3w pelas expressões dadas:
alpha (u - 2v + w) + beta (2u + v + 3w) + gamma (u + 8v + 3w) = 0
Agora, substituímos na combinação linear:

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes:
alpha u - 2alpha v + alpha w + 2beta u + beta v + 3beta w + gamma u + 8gamma v + 3gamma w = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(alpha + 2beta + gamma)u + (-2alpha + beta + 8gamma)v + (alpha + 3beta + 3gamma)w = 0

Passo 4

Como alpha + 2beta + gamma = 0 -2alpha + beta + 8gamma = 0 alpha + 3beta + 3gamma = 0 , e são vetores arbitrários, para que a equação acima seja igual ao vetor zero, cada coeficiente deve ser igual a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar valores de alpha = -2beta - gamma , -2(-2beta - gamma) + beta + 8gamma = 0 4beta + 2gamma + beta + 8gamma = 0 5beta + 10gamma = 0 beta = -2gamma e alpha = -2(-2gamma) - gamma = 4gamma - gamma = 3gamma que não sejam todos zero. Isso mostrará que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, provando que os vetores são LD.
Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação:
3gamma + 3(-2gamma) + 3gamma = 0 3gamma - 6gamma + 3gamma = 0 0 = 0
  1. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo na expressão de :
  1. Por fim, substituindo e na terceira equação para verificar:
Isso confirma que a solução é consistente.

Resposta

Portanto, existe uma combinação não trivial ( , , arbitrário) que satisfaz . Assim, os vetores , e são linearmente dependentes, independentemente dos vetores , e .

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