Mostre que o PV não é associativo apresentando 3 vetores u, v, w do R^3 tais
(u times v) times w neq u times(v times w)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para mostrar que o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) não é associativo. Para isso, precisamos escolher três vetores no espaço tridimensional e demonstrar que . Vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e entender um pouco sobre suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher três vetores simples para facilitar os cálculos. Vamos definir:
u = 1 0 0 , v = 0 1 0 , w = 0 0 1
Esses são os vetores da base canônica no espaço , ou seja, eles apontam ao longo dos eixos , e .

Passo 3

Vamos calcular u times v = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 = i(0 cdot 0 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 0 - 0 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 0 0 1 primeiro. Primeiro, encontramos 0 0 1 times 0 0 1 = i & j & k 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 = i(0 cdot 1 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 1 - 1 cdot 0) + k(0 cdot 0 - 0 cdot 0) = 0 0 0 :
0 0 0
Agora, calculamos :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular v times w = i & j & k 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(0 cdot 1 - 0 cdot 0) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 0) = 1 0 0 . Primeiro, encontramos 1 0 0 times 1 0 0 = i & j & k 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 = i(0 cdot 0 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 0 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 0 cdot 1) = 0 0 0 :
0 0 0
Agora, calculamos :
Então, .

Passo 5

Parece que os resultados são iguais, né? Vamos tentar com outros vetores para ver se conseguimos uma desigualdade. Vamos escolher:
u = 1 2 3 , v = 4 5 6 , w = 7 8 9
Primeiro, calculamos u times v = i & j & k 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 = i(2 cdot 6 - 3 cdot 5) - j(1 cdot 6 - 3 cdot 4) + k(1 cdot 5 - 2 cdot 4) = (12 - 15) -(6 - 12) (5 - 8) = -3 6 -3 :
-3 6 -3 times 7 8 9 = i & j & k -3 & 6 & -3 7 & 8 & 9 = i(6 cdot 9 - (-3) cdot 8) - j((-3) cdot 9 - (-3) cdot 7) + k((-3) cdot 8 - 6 cdot 7) = (54 + 24) -(-27 + 21) (-24 - 42) = 78 6 -66
Agora, calculamos v times w = i & j & k 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 = i(5 cdot 9 - 6 cdot 8) - j(4 cdot 9 - 6 cdot 7) + k(4 cdot 8 - 5 cdot 7) = (45 - 48) -(36 - 42) (32 - 35) = -3 6 -3 :
1 2 3 times -3 6 -3 = i & j & k 1 & 2 & 3 -3 & 6 & -3 = i(2 cdot (-3) - 3 cdot 6) - j(1 cdot (-3) - 3 cdot (-3)) + k(1 cdot 6 - 2 cdot (-3)) = (-6 - 18) -(-3 + 9) (6 + 6) = -24 -6 12
Agora, vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 6

Comparando os resultados:
(u times v) times w = 78 6 -66 e u times (v times w) = -24 -6 12
Claramente, . Isso mostra que o produto vetorial não é associativo.

Resposta

Demonstramos que, para os vetores 1 2 3 , 4 5 6 e 7 8 9 , temos:
(u times v) times w = 78 6 -66 neq -24 -6 12 = u times (v times w)
Portanto, o produto vetorial não é associativo.

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