Nos casos abaixo, determine A^-1, utilizando operações elementares, se esta existir.
(a) A=[lll2 & 1 & 3 4 & 2 & 2 2 & 5 & 3];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando operações elementares. A gente vai trabalhar com Álgebra Linear, mais especificamente com matrizes e inversas. Pra isso, vamos precisar usar técnicas como a redução de linhas para transformar a matriz na identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para chegar na inversa .

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz aumentada juntando [ccc|ccc 2 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 4 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & 3 & 0 & 0 & 1 ] com a identidade . Fica assim:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada (a matriz [ccc|ccc 1 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0 & 0 4 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & 3 & 0 & 0 & 1 ] ) na matriz identidade. Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:

Passo 4

Em seguida, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha e 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, trocamos a segunda e terceira linhas para facilitar:
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 6

Vamos simplificar a segunda linha dividindo tudo por 4 para deixar o pivô igual a 1:
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -0.25 & 0 & 0.25 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do pivô da segunda coluna. Subtraímos 0.5 vezes a segunda linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1.5 & 0.625 & 0 & -0.125 0 & 1 & 0 & -0.25 & 0 & 0.25 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 8

Por fim, vamos trabalhar na terceira coluna. Primeiro, dividimos a terceira linha por -4 para deixar o pivô igual a 1:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1.5 & 0.625 & 0 & -0.125 0 & 1 & 0 & -0.25 & 0 & 0.25 0 & 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0 ]

Passo 9

Agora, vamos zerar os elementos acima do pivô da terceira coluna. Subtraímos 1.5 vezes a terceira linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -0.1875 & 0.375 & -0.125 0 & 1 & 0 & -0.25 & 0 & 0.25 0 & 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0 ]

Resposta

A matriz inversa A^-1 = -0.1875 & 0.375 & -0.125 -0.25 & 0 & 0.25 0.5 & -0.25 & 0 é:

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