Imagine que nós temos um grupo formado por
casais.
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
onde
- S só pode conter mulheres
- T só pode conter homens
E imagine que T não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em S .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
E imagine que T não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em S .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo com
casais e queremos formar dois grupos:
que só tem mulheres e
que só tem homens. Além disso, nenhum homem em
pode ser o marido de alguma mulher em
.
A matéria envolvida aqui é combinatória, que é sobre contar de quantas maneiras podemos organizar ou selecionar elementos dentro de um conjunto seguindo certas regras. Vamos precisar usar conceitos de subconjuntos e restrições de seleção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como formar o grupo
que só tem mulheres. Temos
mulheres, então cada uma delas pode ou não estar em
. Isso significa que existem
maneiras de formar
(cada mulher tem 2 opções: estar ou não estar no grupo).
Passo 3
Agora, para cada conjunto
que formamos, precisamos formar o conjunto
com os homens. Mas tem uma regra:
não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em
.
Se
tem
mulheres, isso significa que os maridos dessas
mulheres não podem estar em
. Assim, restam
homens que podem estar em
. Para cada um desses
homens, temos 2 opções: ou ele está em
ou não está.
Então, para cada
com
mulheres, existem
maneiras de formar
.
Passo 4
Agora precisamos juntar tudo. Temos
maneiras de formar
, e para cada uma dessas, temos
maneiras de formar
.
Para calcular o total de maneiras de formar
e
juntos, somamos todas essas possibilidades para cada valor de
(de 0 a
):
Aqui,
representa o número de maneiras de escolher
mulheres dentre as
disponíveis.
Passo 5
Vamos simplificar essa soma. Observando a expressão:
Isso ocorre porque cada elemento tem 3 opções: estar em
, em
, ou nem em
nem em
. Portanto, a soma total é
.
Resposta
O número de maneiras de formar os subconjuntos
e
seguindo as regras é
.
Exercícios relacionados
Imagine que nós temos um grupo formado por
mulheres e
homens. Imagine que nós temos
-
chapéus vermelhos -
chapéus pretos -
chapéus amarelos -
chapéus brancos
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essaspessoas.
E imagine que - as mulheres devem usar chapéus vermelhos ou amarelos
- os homens devem usar chapéus pretos ou brancos
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Agora, considere o conjunto
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
, ambos com tamanho
, onde
- S só pode conter números ímpares
- T só pode conter números pares
imagine que todos os elementos de devem ser menores do que todos elementos de .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que você tem uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas.
E imagine que você pode usar no máximo bolinhas vermelhas.
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com bolinhas vermelhas.
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de .
E depois resolva essa soma.
E imagine que você pode usar no máximo
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de
E depois resolva essa soma.
Imagine que nós temos um grupo formado por
mulheres
homens.
Imagine que os homens se dividem em
Imagine que os homens se dividem em
-
homens idosos entre 61 e 80 anos -
homens adultos entre 21 e 40 anos
E imagine que as mulheres se dividem em -
mulheres maduras entre 41 e 60 anos -
mulheres jovens com até 20 anos
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas pessoas.
E imagine que cada mulher deve aparecer imediatamente atrás de um homem mais velho do que ela.
De quantas maneiras isso pode ser feito?