Imagine que nós temos um grupo formado por casais.
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos onde
  • S só pode conter mulheres
  • T só pode conter homens
    E imagine que T não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em S .
    De quantas maneiras isso pode ser feito?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo com casais e queremos formar dois grupos: que só tem mulheres e que só tem homens. Além disso, nenhum homem em pode ser o marido de alguma mulher em .
A matéria envolvida aqui é combinatória, que é sobre contar de quantas maneiras podemos organizar ou selecionar elementos dentro de um conjunto seguindo certas regras. Vamos precisar usar conceitos de subconjuntos e restrições de seleção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como formar o grupo que só tem mulheres. Temos mulheres, então cada uma delas pode ou não estar em . Isso significa que existem maneiras de formar (cada mulher tem 2 opções: estar ou não estar no grupo).

Passo 3

Agora, para cada conjunto que formamos, precisamos formar o conjunto com os homens. Mas tem uma regra: não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em .
Se tem mulheres, isso significa que os maridos dessas mulheres não podem estar em . Assim, restam homens que podem estar em . Para cada um desses homens, temos 2 opções: ou ele está em ou não está.
Então, para cada com mulheres, existem maneiras de formar .

Passo 4

Agora precisamos juntar tudo. Temos maneiras de formar , e para cada uma dessas, temos maneiras de formar .
Para calcular o total de maneiras de formar e juntos, somamos todas essas possibilidades para cada valor de (de 0 a ):
Aqui, representa o número de maneiras de escolher mulheres dentre as disponíveis.

Passo 5

Vamos simplificar essa soma. Observando a expressão:
Isso ocorre porque cada elemento tem 3 opções: estar em , em , ou nem em nem em . Portanto, a soma total é .

Resposta

O número de maneiras de formar os subconjuntos e seguindo as regras é .

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Imagine que nós temos um grupo formado por mulheres e homens. Imagine que nós temos
  • chapéus vermelhos
  • chapéus pretos
  • chapéus amarelos
  • chapéus brancos
    a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas pessoas.
    E imagine que
  • as mulheres devem usar chapéus vermelhos ou amarelos
  • os homens devem usar chapéus pretos ou brancos
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Agora, considere o conjunto
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos , ambos com tamanho , onde
  • S só pode conter números ímpares
  • T só pode conter números pares
    imagine que todos os elementos de devem ser menores do que todos elementos de .
    De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que você tem uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas.
E imagine que você pode usar no máximo bolinhas vermelhas.
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com bolinhas vermelhas.
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de .
E depois resolva essa soma.
Imagine que nós temos um grupo formado por mulheres homens.
Imagine que os homens se dividem em
  • homens idosos entre 61 e 80 anos
  • homens adultos entre 21 e 40 anos
    E imagine que as mulheres se dividem em
  • mulheres maduras entre 41 e 60 anos
  • mulheres jovens com até 20 anos
    a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas pessoas.
    E imagine que cada mulher deve aparecer imediatamente atrás de um homem mais velho do que ela.
    De quantas maneiras isso pode ser feito?