Imagine que nós temos um grupo formado por
casais.
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
onde
- S só pode conter mulheres
- T só pode conter homens
E imagine que T não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em S .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
E imagine que T não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em S .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo com
casais e queremos formar dois grupos:
que só tem mulheres e
que só tem homens. Além disso, nenhum homem em
pode ser o marido de alguma mulher em
.
A matéria envolvida aqui é combinatória, que é sobre contar de quantas maneiras podemos organizar ou selecionar elementos dentro de um conjunto seguindo certas regras. Vamos precisar usar conceitos de subconjuntos e restrições de seleção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como formar o grupo
que só tem mulheres. Temos
mulheres, então cada uma delas pode ou não estar em
. Isso significa que existem
maneiras de formar
(cada mulher tem 2 opções: estar ou não estar no grupo).
Passo 3
Agora, para cada conjunto
que formamos, precisamos formar o conjunto
com os homens. Mas tem uma regra:
não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em
.
Se
tem
mulheres, isso significa que os maridos dessas
mulheres não podem estar em
. Assim, restam
homens que podem estar em
. Para cada um desses
homens, temos 2 opções: ou ele está em
ou não está.
Então, para cada
com
mulheres, existem
maneiras de formar
.
Passo 4
Agora precisamos juntar tudo. Temos
maneiras de formar
, e para cada uma dessas, temos
maneiras de formar
.
Para calcular o total de maneiras de formar
e
juntos, somamos todas essas possibilidades para cada valor de
(de 0 a
):
Aqui,
representa o número de maneiras de escolher
mulheres dentre as
disponíveis.
Passo 5
Vamos simplificar essa soma. Observando a expressão:
Isso ocorre porque cada elemento tem 3 opções: estar em
, em
, ou nem em
nem em
. Portanto, a soma total é
.
Resposta
O número de maneiras de formar os subconjuntos
e
seguindo as regras é
.