Agora, suponha que C é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
ointC x d x+y d yx^2+y^2 ?
Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma curva fechada ointC x, dx + y, dyx^2 + y^2 que envolve a origem. A gente precisa calcular a integral de linha
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e simplificar a expressão da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que correspondem ao Teorema de Green. O Teorema de Green diz que:
ointC (M, dx + N, dy) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx, dy
No nosso caso, temos:
M = xx^2 + y^2 e N = yx^2 + y^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Npartial x = partialpartial x ( yx^2 + y^2 ) = -2xy(x^2 + y^2)^2
partial Mpartial y = partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = -2xy(x^2 + y^2)^2
Agora, subtraindo essas derivadas:
partial Npartial x - partial Mpartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2 - ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) = 0

Passo 4

Com a diferença das derivadas sendo zero, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dx, dy = 0
Segundo o Teorema de Green, isso significa que a integral de linha original também é zero.

Resposta

A integral é igual a 0.

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