Agora, suponha que
é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma curva fechada
que envolve a origem. A gente precisa calcular a integral de linha
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e simplificar a expressão da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que correspondem ao Teorema de Green. O Teorema de Green diz que:
No nosso caso, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, subtraindo essas derivadas:
Passo 4
Com a diferença das derivadas sendo zero, a integral dupla fica:
Segundo o Teorema de Green, isso significa que a integral de linha original também é zero.
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a curva obtida pela intersecção das superfícies
e
e orientada no sentido anti-horário em torno do eixo
.
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação
tem exactamente uma raiz real.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico da função
a seguir.
Aplicações Específicas: Escolher uma ou mais áreas da engenharia e descrever como as derivadas e integrais são aplicadas. Algumas áreas de exemplo incluem:
- Engenharia Civil: Cálculo de estruturas e forças, estudo de deformações, fluxo de fluidos em tubulações.
Engenharia Mecânica: Movimento de objetos, dinâmica de sistemas, análise de esforços em vigas.
Engenharia Elétrica: Análise de circuitos, sinais e sistemas, otimização de sistemas de energia. - Engenharia Química: Modelagem de reações químicas, transferência de calor e massa.
- Engenharia de Produção: Otimização de processos, controle de qualidade e custos.
- Apresentar exemplos práticos reais ou simplificados onde os conceitos de derivadas e integrais são aplicados.