Agora, suponha que
é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma curva fechada
que envolve a origem. A gente precisa calcular a integral de linha
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e simplificar a expressão da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que correspondem ao Teorema de Green. O Teorema de Green diz que:
No nosso caso, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, subtraindo essas derivadas:
Passo 4
Com a diferença das derivadas sendo zero, a integral dupla fica:
Segundo o Teorema de Green, isso significa que a integral de linha original também é zero.
Resposta
A integral
é igual a 0.