Calcule , onde é a curva obtida pela intersecção das superfícies e e orientada no sentido anti-horário em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a curva formada pela intersecção das superfícies e . O assunto aqui envolve cálculo de integrais de linha no campo vetorial, então vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar as técnicas de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção das superfícies e . A superfície é um cilindro circular com raio 2, e é uma parábola que se abre para cima. A interseção delas será uma curva fechada no espaço.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos parametrizar a curva . Como descreve um círculo no plano com raio 2, podemos usar coordenadas polares para parametrizar e . Vamos definir:
onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 4

Agora, como , substituímos na expressão para :
Então, a parametrização completa da curva fica:
com .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas das componentes da parametrização em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos , , , , e na integral de linha:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo da integral:
Podemos dividir a integral em três partes:

Passo 8

Resolvendo cada integral separadamente:
Fazendo a substituição , :
Sabemos que :
Usando a identidade , temos:
Sabemos que e (por simetria):

Passo 9

Somando todas as partes:

Resposta

A integral é igual a .

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