Calcule
, onde
é a curva obtida pela intersecção das superfícies
e
e orientada no sentido anti-horário em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a curva formada pela intersecção das superfícies
e
. O assunto aqui envolve cálculo de integrais de linha no campo vetorial, então vamos precisar entender como parametrizar a curva
e aplicar as técnicas de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Ela é a interseção das superfícies
e
. A superfície
é um cilindro circular com raio 2, e
é uma parábola que se abre para cima. A interseção delas será uma curva fechada no espaço.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos parametrizar a curva
. Como
descreve um círculo no plano
com raio 2, podemos usar coordenadas polares para parametrizar
e
. Vamos definir:
onde
varia de
a
para percorrer todo o círculo.
Passo 4
Agora, como
, substituímos
na expressão para
:
Então, a parametrização completa da curva
fica:
com
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas das componentes da parametrização em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos
,
,
,
,
e
na integral de linha:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar cada termo da integral:
Podemos dividir a integral em três partes:
Passo 8
Resolvendo cada integral separadamente:
Fazendo a substituição
,
:
Sabemos que
:
Usando a identidade
, temos:
Sabemos que
e
(por simetria):
Passo 9
Somando todas as partes:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação
tem exactamente uma raiz real.
Seja
. Calcule a integral de linha de
em torno do perímetro do quadrado com vértices
e
, orientado no sentido anti-horário em torno do eixo
.
Agora, suponha que
é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico da função
a seguir.