Calcule integralC z d x+x d y+y d z, onde C é a curva obtida pela intersecção das superfícies z=x^2 e x^2+y^2=4 e orientada no sentido anti-horário em torno do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a curva formada pela intersecção das superfícies e . O assunto aqui envolve cálculo de integrais de linha no campo vetorial, então vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar as técnicas de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção das superfícies e . A superfície é um cilindro circular com raio 2, e é uma parábola que se abre para cima. A interseção delas será uma curva fechada no espaço.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos parametrizar a curva x = 2 cos theta . Como y = 2 sin theta descreve um círculo no plano com raio 2, podemos usar coordenadas polares para parametrizar e . Vamos definir:
onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 4

Agora, como z = (2 cos theta)^2 = 4 cos^2 theta , substituímos r(theta) = (2 cos theta, 2 sin theta, 4 cos^2 theta) na expressão para :
Então, a parametrização completa da curva fica:
com .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas das componentes da parametrização em relação a dxdtheta = -2 sin theta :
dydtheta = 2 cos theta
dzdtheta = ddtheta(4 cos^2 theta) = 8 cos theta (-sin theta) = -8 cos theta sin theta

Passo 6

Agora, substituímos integralC z , dx + x , dy + y , dz = integral0^2pi [ z cdot dxdtheta + x cdot dydtheta + y cdot dzdtheta ] dtheta , = integral0^2pi [4 cos^2 theta cdot (-2 sin theta) + 2 cos theta cdot 2 cos theta + 2 sin theta cdot (-8 cos theta sin theta)] dtheta , , , e na integral de linha:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo da integral:
= integral0^2pi [-8 cos^2 theta sin theta + 4 cos^2 theta - 16 cos theta sin^2 theta] dtheta
Podemos dividir a integral em três partes:
= -8 integral0^2pi cos^2 theta sin theta , dtheta + 4 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta - 16 integral0^2pi cos theta sin^2 theta , dtheta

Passo 8

Resolvendo cada integral separadamente:
  1. -8 integralu=1^u=1 u^2 (-du) = -8 integral1^1 u^2 du = 0
Fazendo a substituição 4 cdot 12 integral0^2pi (1 + cos 2theta) dtheta = 2 [ theta + sin 2theta2 ]0^2pi = 2(2pi - 0) = 4pi , -16 integral0^2pi cos theta (1 - cos^2 theta) dtheta = -16 ( integral0^2pi cos theta dtheta - integral0^2pi cos^3 theta dtheta ) :
-16 (0 - 0) = 0
Sabemos que :
Usando a identidade , temos:
Sabemos que e (por simetria):

Passo 9

Somando todas as partes:
0 + 4pi + 0 = 4pi

Resposta

A integral é igual a .

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