Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação
tem exactamente uma raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação
tem exatamente uma raiz real. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre funções contínuas e derivadas. Vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como ele se aplica para determinar o número de raízes de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema diz que se uma função
é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
é igual à média das inclinações entre
e
. Em fórmulas:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
. Essa função é um polinômio, que é contínuo e diferenciável em todos os números reais. Portanto, o TVM se aplica a qualquer intervalo que escolhamos.
Passo 4
Para mostrar que a equação
tem exatamente uma raiz real, vamos analisar o comportamento da função
:
-
Vamos calcular o limite de
quando tende a mais e menos infinito: -
-
Isso nos diz que, pela continuidade da função, deve existir pelo menos uma raiz real entre
e (Pelo Teorema do Valor Intermediate).
Passo 5
Agora, para mostrar que essa raiz é única, vamos analisar a derivada da função para entender se ela é estritamente crescente ou decrescente, o que implica em apenas uma interseção com o eixo
.
Calculando a derivada de
:
Passo 6
Vamos analisar o sinal de
:
O discriminante da equação quadrática
é
, que é negativo. Isso significa que a derivada nunca é zero e, como o coeficiente de
é positivo, a derivada
é sempre positiva para todo
.
Passo 7
Como
é sempre positiva, isso significa que a função
é estritamente crescente em todo o seu domínio. Uma função que é estritamente crescente pode cruzar o eixo
no máximo uma vez.
Passo 8
Já sabemos que existe pelo menos uma raiz real e que não pode haver mais de uma, pois a função é estritamente crescente. Portanto, concluímos que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Resposta
A equação
tem exatamente uma raiz real.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule a integral de linha de
em torno do perímetro do quadrado com vértices
e
, orientado no sentido anti-horário em torno do eixo
.
Sejam
e
duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
Calcule
, onde
é a curva obtida pela intersecção das superfícies
e
e orientada no sentido anti-horário em torno do eixo
.
Agora, suponha que
é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.