Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação tem exactamente uma raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação tem exatamente uma raiz real. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre funções contínuas e derivadas. Vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como ele se aplica para determinar o número de raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema diz que se uma função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada é igual à média das inclinações entre e . Em fórmulas:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Essa função é um polinômio, que é contínuo e diferenciável em todos os números reais. Portanto, o TVM se aplica a qualquer intervalo que escolhamos.

Passo 4

Para mostrar que a equação tem exatamente uma raiz real, vamos analisar o comportamento da função :
  1. Vamos calcular o limite de quando tende a mais e menos infinito:
  2. Isso nos diz que, pela continuidade da função, deve existir pelo menos uma raiz real entre e (Pelo Teorema do Valor Intermediate).

Passo 5

Agora, para mostrar que essa raiz é única, vamos analisar a derivada da função para entender se ela é estritamente crescente ou decrescente, o que implica em apenas uma interseção com o eixo .
Calculando a derivada de :

Passo 6

Vamos analisar o sinal de :
O discriminante da equação quadrática é , que é negativo. Isso significa que a derivada nunca é zero e, como o coeficiente de é positivo, a derivada é sempre positiva para todo .

Passo 7

Como é sempre positiva, isso significa que a função é estritamente crescente em todo o seu domínio. Uma função que é estritamente crescente pode cruzar o eixo no máximo uma vez.

Passo 8

Já sabemos que existe pelo menos uma raiz real e que não pode haver mais de uma, pois a função é estritamente crescente. Portanto, concluímos que a equação tem exatamente uma raiz real.

Resposta

A equação tem exatamente uma raiz real.

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