encontre o potencial para qualquer ponto r. Sua responta aqui deve ser consistente com o resultado de e).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a definição do potencial elétrico V(r) = integral dq4 pi epsilon0 1|r - r'| dada por:
Isso faz parte da matéria de Eletrostática, onde estudamos como cargas elétricas geram campos e potenciais ao seu redor. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como calcular esse potencial para qualquer ponto no espaço, considerando uma distribuição de carga qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que representa um elemento de carga na distribuição. Se a carga está distribuída de forma contínua, podemos expressar em termos de densidade de carga, que pode ser de volume (), de superfície () ou de linha (), dependendo de como a carga está distribuída.
Para uma distribuição de carga contínua, temos:
Densidade de carga volumétrica ():
Densidade de carga superficial ():
Densidade de carga linear ():
Passo 3
Vamos assumir, para tornar a explicação mais geral, que temos uma densidade de carga volumétrica V(r) = integral rho(r') dV'4 pi epsilon0 |r - r'| . Assim, podemos reescrever a expressão para :
Aqui, a integral é feita sobre todo o volume onde a carga está distribuída.
Passo 4
Agora, precisamos entender o que significa . Essa expressão representa a distância entre o ponto onde queremos calcular o potencial () e o ponto onde está a carga ().
Em outras palavras, para cada elemento de carga na distribuição, calculamos a contribuição desse elemento para o potencial no ponto , e depois somamos todas essas contribuições integrando sobre todo o volume da distribuição de carga.
Passo 5
Para facilitar a integração, é útil usar coordenadas apropriadas, dependendo da simetria da distribuição de carga. Por exemplo:
Distribuição esférica: coordenadas esféricas.
Distribuição cilíndrica: coordenadas cilíndricas.
Distribuição planar: coordenadas cartesianas.
Escolher o sistema de coordenadas certo simplifica muito os cálculos, pois aproveitamos a simetria da situação.
Passo 6
Vamos considerar um exemplo simples para ilustrar. Suponha que temos uma esfera carregada de raio V(r) = 14 pi epsilon0 cdot Qr com densidade de carga uniforme . Queremos encontrar o potencial para um ponto fora da esfera ().
Nesse caso, devido à simetria esférica, podemos tratar toda a carga como se estivesse concentrada no centro da esfera. Assim, a integral simplifica para:
Onde é a carga total da esfera. Isso ocorre porque, pela lei de Gauss, o campo elétrico fora de uma distribuição esférica de carga é o mesmo que o de uma carga pontual.
Passo 7
Voltando à expressão geral, fica claro que o potencial depende da distribuição de carga e da distância entre os pontos e .
Portanto, para encontrar para qualquer ponto , precisamos:
Identificar a densidade de carga .
Escolher o sistema de coordenadas adequado.
Expressar no sistema escolhido.
Realizar a integração sobre todo o volume da distribuição de carga.
Resposta
O potencial elétrico V(r) = integral rho(r')4 pi epsilon0 |r - r'| dV' para qualquer ponto é dado por:
Esse resultado está consistente com o esperado na parte e) da questão.