Agora, usando a definição
V(r)=integral d q4 pi epsilono 1|r-r^prime|
encontre o potencial para qualquer ponto r. Sua responta aqui deve ser consistente com o resultado de e).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a definição do potencial elétrico V(r) = integral dq4 pi epsilon0 1|r - r'| dada por:
Isso faz parte da matéria de Eletrostática, onde estudamos como cargas elétricas geram campos e potenciais ao seu redor. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como calcular esse potencial para qualquer ponto no espaço, considerando uma distribuição de carga qualquer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que representa um elemento de carga na distribuição. Se a carga está distribuída de forma contínua, podemos expressar em termos de densidade de carga, que pode ser de volume ( ), de superfície ( ) ou de linha ( ), dependendo de como a carga está distribuída.
Para uma distribuição de carga contínua, temos:
  • Densidade de carga volumétrica ( ):
  • Densidade de carga superficial ( ):
  • Densidade de carga linear ( ):

Passo 3

Vamos assumir, para tornar a explicação mais geral, que temos uma densidade de carga volumétrica V(r) = integral rho(r') dV'4 pi epsilon0 |r - r'| . Assim, podemos reescrever a expressão para :
Aqui, a integral é feita sobre todo o volume onde a carga está distribuída.

Passo 4

Agora, precisamos entender o que significa . Essa expressão representa a distância entre o ponto onde queremos calcular o potencial ( ) e o ponto onde está a carga ( ).
Em outras palavras, para cada elemento de carga na distribuição, calculamos a contribuição desse elemento para o potencial no ponto , e depois somamos todas essas contribuições integrando sobre todo o volume da distribuição de carga.

Passo 5

Para facilitar a integração, é útil usar coordenadas apropriadas, dependendo da simetria da distribuição de carga. Por exemplo:
  • Distribuição esférica: coordenadas esféricas.
  • Distribuição cilíndrica: coordenadas cilíndricas.
  • Distribuição planar: coordenadas cartesianas.
Escolher o sistema de coordenadas certo simplifica muito os cálculos, pois aproveitamos a simetria da situação.

Passo 6

Vamos considerar um exemplo simples para ilustrar. Suponha que temos uma esfera carregada de raio V(r) = 14 pi epsilon0 cdot Qr com densidade de carga uniforme . Queremos encontrar o potencial para um ponto fora da esfera ( ).
Nesse caso, devido à simetria esférica, podemos tratar toda a carga como se estivesse concentrada no centro da esfera. Assim, a integral simplifica para:
Onde é a carga total da esfera. Isso ocorre porque, pela lei de Gauss, o campo elétrico fora de uma distribuição esférica de carga é o mesmo que o de uma carga pontual.

Passo 7

Voltando à expressão geral, fica claro que o potencial depende da distribuição de carga e da distância entre os pontos e .
Portanto, para encontrar para qualquer ponto , precisamos:
  1. Identificar a densidade de carga .
  2. Escolher o sistema de coordenadas adequado.
  3. Expressar no sistema escolhido.
  4. Realizar a integração sobre todo o volume da distribuição de carga.

Resposta

O potencial elétrico V(r) = integral rho(r')4 pi epsilon0 |r - r'| dV' para qualquer ponto é dado por:
Esse resultado está consistente com o esperado na parte e) da questão.

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