Ainda considerando que V(infty)=0, supondo que lim r infty Q int / r=0, mostre que partindo do resultado de b), podemos mostrar que
V(r)=Qi n t(r)4 pi epsilon0 r+1epsilon0 integralr^infty rho(r^prime) r^prime d r^prime

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a função potencial elétrico pode ser expressa de uma certa forma, usando que e que o limite de tende a zero quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletrostática, como potencial elétrico, carga interna , constante de permissividade , e a distribuição de carga . A gente vai usar essas definições e integrar para chegar na expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico em uma distância pode ser calculado a partir da carga interna até esse ponto e da distribuição de carga além desse ponto. A expressão que queremos chegar inclui dois termos: um que envolve a carga interna e outro que envolve uma integral da densidade de carga de até o infinito.

Passo 3

Sabemos que o potencial causado por uma carga puntiforme V(r) = Q4 pi epsilon0 r a uma distância V(r) = Qint(r)4 pi epsilon0 r é dado por:
Aqui, seria a carga interna , então podemos substituir:

Passo 4

Mas além dessa carga interna, também temos uma distribuição contínua de carga 1epsilon0 integralr^infty rho(r') r' dr' que contribui para o potencial total. Para calcular essa contribuição, precisamos integrar a densidade de carga desde até o infinito. Como a contribuição de cada infinitesimal de carga depende da distância , a integral fica:

Passo 5

Somando as duas contribuições—do V(r) = Qint(r)4 pi epsilon0 r + 1epsilon0 integralr^infty rho(r') r' dr' e da distribuição de carga —obtemos a expressão completa para o potencial elétrico :

Resposta

Portanto, mostramos que:
V(r) = Qint(r)4 pi epsilon0 r + 1epsilon0 integralr^infty rho(r') r' dr'

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