Ainda considerando que
, supondo que
, mostre que partindo do resultado de b), podemos mostrar que
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a função potencial elétrico
pode ser expressa de uma certa forma, usando que
e que o limite de
tende a zero quando
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletrostática, como potencial elétrico, carga interna
, constante de permissividade
, e a distribuição de carga
. A gente vai usar essas definições e integrar para chegar na expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
em uma distância
pode ser calculado a partir da carga interna até esse ponto e da distribuição de carga além desse ponto. A expressão que queremos chegar inclui dois termos: um que envolve a carga interna
e outro que envolve uma integral da densidade de carga
de
até o infinito.
Passo 3
Sabemos que o potencial causado por uma carga puntiforme
a uma distância
é dado por:
Aqui,
seria a carga interna
, então podemos substituir:
Passo 4
Mas além dessa carga interna, também temos uma distribuição contínua de carga
que contribui para o potencial total. Para calcular essa contribuição, precisamos integrar a densidade de carga desde
até o infinito. Como a contribuição de cada infinitesimal de carga depende da distância
, a integral fica:
Passo 5
Somando as duas contribuições—do
e da distribuição de carga
—obtemos a expressão completa para o potencial elétrico
:
Resposta
Portanto, mostramos que: